ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Определение 1

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции при , т.е.

Определение 2

Функция называется непрерывной в точке , если она в этой точке определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

Если условие непрерывности функции в точке нарушено, то такую точку называют точкой разрыва функции.

Для элементарных функций справедливы следующие положения:

1. Область непрерывности элементарной функции совпадает с ее областью определения, т.е. элементарная функция непрерывна во всей области определения;

2. Элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого-либо промежутка, но не во всех его точках;

3. Элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена

Функция называется непрерывной в промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Пример 1:

Исследовать функцию на непрерывность.

Функция определена в промежутке , в этом же промежутке она непрерывна. Имеем

Следовательно,

Согласно определению 2, данная функция непрерывна при любом значении .

Определение 3

Точка разрыва функции называется точкой разрыва первого рода, если в ней функция имеет конечные левый и правый пределы. Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода.

Имеют место следующие теоремы о непрерывности функции:

1. Алгебраическая сумма конечного числа непрерывных функций в некотором промежутке есть функция, непрерывная в этом промежутке.

2. Произведение конечного числа непрерывных функций в некотором промежутке есть функция, непрерывная в этом промежутке.

3. Отношение двух функций, непрерывных в некотором промежутке, является непрерывной функцией во всех точках этого промежутка, в которых знаменатель отличен от нуля.

4. Если функции и непрерывны в своих областях определения и область значений функции содержится в области определения функции , т.е. , то сложная функция непрерывна в своей области определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Т1. Если непрерывная на отрезке функция принимает на концах этого отрезка значения и , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между и .

Т2. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то существует хотя бы одна точка в интервале , в которой

Т3. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.