ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

Условие постоянства функции. Дифференцируемая функция постоянна на промежутке Х тогда и только тогда, когда внутри Х.

Условие возрастания функции. Дифференцируемая функция монотонно возрастает на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее производная не отрицательна внутри этого промежутка: , причем производная обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри промежутка Х.

Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно возрастающей функции образует с положительным направлением оси Ох острый угол или параллельна ей.

Условие убывания функции. Дифференцируемая функция монотонно убывает на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее производная не положительна внутри этого промежутка: , причем производная обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри Х.

Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно убывающей функции образует с положительным направлением оси Ох тупой угол или параллельна ей.

Экстремумы функции. Говорят, что функция имеет максимум в точке х1, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к х1, т.е.

если

для любых

, как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по модулю. Таким образом, х=х1 – точка максимума, а

- максимум функции.

Говорят, что функция имеет минимум в точке х2, если значение функции в этой точке меньше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к х2, т.е. если для любых , как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по модулю. Таким образом, - точка минимума, а - минимум функции.

Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум. Значение функции в этой точке называется экстремальным.

Замечание: следует помнить: 1) что максимум (минимум) не является обязательно наибольшим (наименьшим) значением, принимаемым функцией; 2) функция может иметь несколько максимумов или минимумов; 3) функция, определенная на отрезке, может достигать экстремума только во внутренних точках этого отрезка.

Необходимое условие экстремума. Если функция имеет экстремум при , то ее производная в этой точке равна нулю или бесконечности либо вовсе не существует, при этом сама функция в точке определена.

Из этого следует, что точки экстремума функции следует разыскивать только среди тех, в которых ее первая производная равна нулю, или бесконечности, или не существует.

Эти точки называются критическими точками I рода.

Этот признак экстремума является только необходимым. Поэтому, определив критические точки I рода, надо каждую из них в отдельности исследовать на основании достаточных условий экстремума.

Первое достаточное условие существования экстремума функции. Пусть точка является критической точкой I рода функции , а сама функция дифференцируема во всех точках некоторого промежутка, содержащего эту точку (за исключением, возможно, самой этой точки). Тогда:

1) если при переходе слева направо через критическую точку I рода первая производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция достигает максимума, т.е. – точка максимума, ;

2) если при переходе слева направо через критическую точку рода первая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция достигает минимума, т.е. - точка минимума, ;

3) если при переходе через критическую точку I рода первая производная не меняет знака, то в этой точке экстремума нет.

Для исследования функции на экстремум по первой производной следует:

1. Найти область определения функции

2. Найти первую производную функции и критические точки I рода

3. Отметить границы области определения и критические точки I рода на числовой прямой

4. Исследовать знак производной в каждом из полученных интервалов

5. Выписать точки экстремума и вычислить экстремумы функции

Пример 1:

Найти экстремумы функции

Решение:

Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е.

2. Функция имеет производную всюду, поэтому определяем критические точки из условия . Находим производную:

3. Отмечаем эти критические точки на числовой прямой

4. Исследуем знак производной в каждом из полученных интервалов: , .

5. Точка х=0 – точка максимума, так как при переходе через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус: . Точки х=-1 и х=1 не являются точками экстремума.

Второе достаточное условие существования экстремума функции.

Если в точке х = хо первая производная функции равна нулю , а вторая производная отлична от нуля, то х = хо – точка экстремума.

При этом если вторая производная в этой точке положительна , то - точка минимума.

Для исследования функции на экстремум по первой и второй производной следует:

1. Найти область определения функции.

2. Найти первую производную функции и стационарные точки, т.е. точки, в которых она обращается в нуль.

3. Найти вторую производную функции и исследовать ее знак в каждой стационарной точке.

Выписать точки экстремума и вычислить (если нужно) экстремумы функции.

Пример 2:

Найти экстремумы функции

Решение:

1. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е.

2. Функция имеет производную всюду, поэтому критические точки определяем из условия : , , .

3. Находим вторую производную функции . Исследуем знак второй производной в каждой критической точке: ; значит, - точка максимума, ; ; значит, – точка минимума,

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Наибольшим значением функции называется самое большое, а наименьшим значением – самое меньшее из всех ее значений.

Функция может иметь только одно наибольшее значение и только одно наименьшее значение или может не иметь их совсем.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций основывается на следующих свойствах этих функций:

1) если в некотором открытом промежутке (конечном или бесконечном) функция непрерывна и имеет только один экстремум и если это максимум, то он и является наибольшим значением функции, а если минимум – наименьшим значением функции в этом промежутке;

2) если функция непрерывна на отрезке , то

она обязательно имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.

Эти значения достигаются ею или в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, или на концах этого отрезка.

Поэтому, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , где она непрерывна, следует:

1. Найти экстремумы функции на данном отрезке,

2. Найти значения функции на концах отрезка: и .

3. Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 3:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение:

1. Найдем экстремумы функции, для чего найдем производную функции и критические точки I рода из условия :

при , ,

2. Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках:

3. Итак, наибольшее значение функции , а наименьшее значение функции

Пример 4:

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак объемом 250 см3. Какими должны быть его размеры, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение:

Здесь требуется определить радиус основания R и высоту Н цилиндра, чтобы при заданном объеме площадь его полной поверхности была наименьшей.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: .

Наименьшее значение этой функции и следует определить. Так как S является функцией двух независимых переменных, то одну из них надо исключить. Известно, что объем цилиндра , или . Выразим Н через V:

Тогда

1. Областью определения функции S являются положительные значения радиуса, т.е.

2. Находим производную:

при

3. Находим вторую производную:

Так как , то при имеет место минимум функции , который и является наименьшим значением функции . Тогда или .

Итак, на изготовление цилиндрического бака пойдет наименьшее количество материала, если длина радиуса основания цилиндра равна 5 см, а высота цилиндра 10 см.

Пример 5:

Требуется изготовить ящик с крышкой, стороны основания которого относятся как 1:2, а площадь полной поверхности 108 см2. Какими должны быть его размеры, чтобы его объем был наибольшим?

Решение:

Здесь требуется определить стороны основания и и высоту прямоугольного параллелепипеда, чтобы при заданной площади полной поверхности его объем был наибольшим.

По условию, :=1:2, откуда =х, =2х. Объем прямоугольного параллелепипеда равен или . Надо исключить переменную .

Известно, что S=108 и S=2Sосн+Sбок, Sбок=Росн.

Имеем , ,

Тогда: .

Наибольшее значение этой функции и следует определить.

1. Областью определения функции являются положительные значения х, т.е.

2. Находим производную:

при

3. Находим вторую производную: ; , т.е. функция имеет максимум, который и служит наибольшим значением функции. При этом

Итак, объем ящика является наибольшим, если стороны его основания имеют длину 3 и 6 см, а высота 4 см.

Пример 6:

Число 10 развить на два положительных слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

Решение:

Пусть одно из слагаемых равно х, тогда другое слагаемое есть 10-х. Сумма кубов этих слагаемых равна

Наименьшее значение этой функции и надо определить.

1. Областью определения функции S являются положительные значения х, т.е.

2. Находим производную:

при ,

3. Находим производную: , т.е. при функция S имеет минимум, который и является наименьшим значением функции.

Итак, число 10 надо разложить на два равных слагаемых: 5 и 5.

Пример 7:

Закон прямолинейного движения тела задан уравнением (s – в метрах, t – в секундах). Найти максимальную скорость движения тела.

Решение:

Скорость движения тела в данный момент времени равна производной пути s по времени t:

Исследуем эту функцию на экстремум с помощью второй производной: . Вторая производная отрицательна; следовательно, скорость является наибольшей при t =3.

Максимальная скорость движения составляет:

м/с.

Направление вогнутости и точки перегиба кривой.

Говорят, что на промежутке кривая обращена выпуклостью вверх или выпукла если она лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке.

Говорят, что на промежутке кривая обращена выпуклостью вниз или вогнута , если она лежит выше касательной, проведенной в любой ее точке.

Точкой перегиба непрерывной кривой называется точка А, при переходе через которую кривая меняет свою вогнутость на выпуклость или наоборот.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой. График дифференцируемой функции является выпуклым на промежутке , если вторая производная функция отрицательна в каждой точке этого промежутка: .

График дифференцируемой функции у = f(х)является вогнутым на промежутке , если вторая производная функции положительна в каждой точке этого промежутка при .

Точки, в которых вторая производная функция равна нулю, или бесконечности, или не существует, называются критическими точками II рода.

Если при переходе через критическую точку II рода х=хо вторая производная функции меняет знак, то х=хо – абсцисса точки перегиба. Ордината точки перегиба равна значению функции в точке хо. Точка точка перегиба графика функции .