Свойства производной. Правила дифференцирования функций

Процесс нахождения производной y' от функции У называется дифференцированием функции У.

Дифференцирование любой функции ведется путем сведения дифференцирования данной функции с помощью свойств производных к дифференцированию некой преобразованной функции, составленной из табличных элементарных функций.

Рассмотрим основные свойства производных и примеры их применения для дифференцирования функций.

Свойство 1

Производная суммы конечного числа функций равна сумме производных слагаемых:

[u(x)+v(x)+...+w(x)]' =u'(x)+v'(x)+...+w'(x).

Пример

Найти производную функции y = x + 1/x.

Решение:

(x + 1/x)' = x' + (1/x)'.

Производная от х находится по табличной формуле №2.

x' = (x1)' = 1*x1-1=x0 = 1.

Производная от 1/x так же находится по табличной формуле №2.

(1/x)' = (x-1)' = (-1)*x-1-1 = -x-2 = -1/x2.

Таким образом, получаем:

y'= 1 - 1/x2.

Свойство 2

Производная произведения двух функций равна сумме производной первой функции на вторую и производной второй на первую:

(u*v)' = u'*v + v'*u.

Пример

Найти производную функции y = x* cos(x).

Решение:

(x* cos(x))' = x'* +(cos(x))' x = 1*cos(x) + (-sin(x))*x = cos(x)-x*sin(x). Т.е.

y' = cos(x) - x*sin(x).

Свойство 3

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(c*f(x))' = c*(f*(x))'.

Пример

Найти производную функции y=4lnx.

Решение:

(4*ln x)' = 4*(ln x)' = 4*1/x = 4/x.

Свойство 4

Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель - разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя.

(u/v)' = (u'*v - u*v')/v2.