Об истории возникновения предмета «Численные методы».
В связи с развитием новой вычислительной техники инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых получить весьма сложно или невозможно.
В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение.Новые вычислительные средства вызвали переоценку известных методов решения задач с точки зрения целесообразности их реализации на ЭВМ и стимулировали создание более эффективных. В то же время приспособление какого-либо метода для работы на ЭВМ выдвинуло специфическую проблему «устойчивости вычислительной схемы».
Вычислительная математика = ЭВМ + Численные методы
Предметом изучения вычислительной математики являются численные методы решения задач математического анализа: изучение алгоритма метода, условия сходимости итерационных методов, изучение границ применимости методов, исследования оценок погрешностей методов и вычислений. Главным разделом вычислительной математики является реализация численных методов на ЭВМ, то есть составление программы для требуемого алгоритма и решения конкретной задачи с помощью составленной программы.
Любая прикладная задача формируется исходя из определенного физического смысла некоторого процесса (распределение тепла в стержне, описание траектории движения объектов). Прикладная математическая задача может быть сформулирована, например, из описания некоторой экономической модели (задача распределения ресурсов, задача планирования производства, транспортная задача перевозки грузов, оптимальных в заданном смысле). Следовательно, для постановки любой прикладной задачи нужна математическая модель. Поэтому, можно выделить следующие этапы решения задач на ЭВМ:
1) Описание математической модели задачи на основе физической или экономической модели.
2) Изучение методов решения поставленной математической модели задачи и создание новых методов.
3) Выбор метода решения задачи исходя из заданной точности решения и особенностей задачи.
4) Составление блок-схемы программы для решения задачи на ЭВМ.
5) Отладка программы и оценка полученных результатов. Подстановка решения в уравнение (например, при решении нелинейных уравнений и систем, при решении систем линейных алгебраических уравнений). Решение одной и той же задачи различными методами и решение задачи различными пользователями. Проверка соответствия решения математической и физической модели задачи. В случае несоответствия решений происходит возврат на более ранние этапы решения задачи.
6) Решение задачи на ЭВМ, построение графиков, получение оценки погрешностей, обоснование результатов. 1.