4.3. Метод простых итераций

Пусть дана система, состоящая из двух уравнений с двумя неизвестными:

(8)

Необходимо найти действительные корни этой системы с заданной точностью ε.

Число корней системы и их приближенные значения можно определить, построив кривые и , и определив координаты точек пересечения.

Для применения метода простых итераций исходная система приводится к итерационному виду (составляется генерирующее соотношение):

(9)

Алгоритм метода заключается в последовательном вычислении приближений по формулам:

(10)

где x⁽⁰⁾ и y⁽⁰⁾ – некоторое начальное приближение.

Теорема: Пусть в некоторой замкнутой окрестности имеется одно и только одно решение . Если:

1) функции и определены и непрерывно дифференцируемы в G;

2) начальные приближения и , а также все последующие приближения , принадлежат G.

3) В области G выполнены неравенства

(11)

То процесс последовательных приближений сходится к решению системы, т.е.

.

Эта теорема остается верной, если условия (11) заменить условиями

(12)

Процесс итераций продолжают до тех пор, пока не выполнятся условия: