1.4. Метод Ньютона (метод касательных).

Пусть уравнение (1) имеет на интервале единственный корень, причем существует непрерывная на производная .

(5)

Геометрически (Рис.9) этот процесс означает замену на каждой итерации графика кривой касательной к ней в точках .

Достаточное условие сходимости обеспечивается выбором начальной точки . Начальным приближением служит один из концов отрезка , в зависимости от того, в каком из них выполняется достаточное условие сходимости

(6)

При произвольном начальном приближении итерации сходятся, если

.

Метод Ньютона рекомендуется применять для нахождения простых действительных корней уравнения (1).

Достоинством метода является то, что он обладает быстрой скоростью сходимости, близкой к квадратичной. Недостатки метода:

- не при любом начальном приближении метод Ньютона сходится, а лишь при том, для которого .

- если , то .

- если , то .

Последних трудностей можно избежать, применив модификацию метода Ньютона, рабочая формула при этом имеет вид

.