3.4. Метод простых итераций
Пусть система линейных уравнений (1) каким либо образом приведена к виду
 | (12) |
где С – некоторая матрица, а d – вектор-столбец.
Выберем произвольно вектор начальных приближений 
и построим итерационный процесс: 
Или, в развернутой форме:
 | (13) |
Производя итерации, получим последовательность векторов 
Теорема. Если элементы матрицы С удовлетворяют одному из условий
 | (14 а) | |
| или |  | (14 б) |
то процесс итераций сходится к точному решению системы x при любом начальном векторе х(0), т.е. 
.
Т.о., точное решение системы получается лишь в результате бесконечного процесса и всякий вектор x(k) из полученной последовательности, является приближенным решением. Процесс итераций заканчивают, когда достигнута заданная точность: 
.
Начальный вектор х(0) можно выбирать произвольно.
Иногда берут х(0)=d. Однако наиболее целесообразно в качестве вектора х(0) взять приближенное значение неизвестных, полученные грубой прикидкой.Приведение системы (1) к виду (13) можно осуществить различными способами. Важно только, чтобы выполнялось одно из условий (14 а) или (14 б).
Например: Если диагональные элементы матрицы А отличны от нуля, т.е. 
то систему (1) можно записать в виде:
В этом случае все элементы матрицы С определяются следующим образом: 
. Тогда условия (14 а) и (14 б) соответственно принимают вид:
и 
Данные неравенства будут выполнены, если диагональные элементы матрицы А удовлетворяют условию: 
, т.е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).