4.2. Метод Ньютона
Метод ньютона иначе называют методом последовательных приближений.
Предположим, что найдено k-ое приближение одного из изолированных корней 
векторного уравнения (2): 
Тогда точный корень можно представить в виде
 , | (3) |
где 
– поправка (погрешность корня).
Подставляя выражение (3) в уравнение (2) получим:
 | (4) |
Предположим, что функция f(x) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей x и x(k). Разложим левую часть уравнения (4) по степеням вектора 
(значения которого невелики) в ряд Тейлора, причем ограничимся только линейными членами ряда:
 | (5) |
или, в развернутом виде,
 | (6) |
В формулах (5) и (6) под производной 
следует понимать матрицу Якоби системы функций 
относительно переменных 
, т.е.
Система (6) представляет собой линейную систему относительно поправок 
с матрицей 
, поэтому формула (5) может быть записана в следующем виде:
Отсюда получим:
Следовательно, формула для получения приближений (формула Ньютона), выглядит так:
 | (7) |
Точное решение системы получается в результате бесконечного итерационного процесса, но так как на практике зачастую требуется получить приближенное решение, найденное с некоторой точностью, будем проводить вычисления до тех пор, пока не выполнится неравенство 
.
Пример: Приближенно найти одно из решений системы с точностью 
Решение:
Так как данная система состоит из двух уравнений с двумя неизвестными, проверить наличие корней можно графически. Построим графики функций:
Из графика видно, что данная система имеет четыре решения. Найдем одно из них. Для этого выберем начальные приближения неизвестных: 
.
Составим матрицу Якоби:
Так как в формуле получения последующих приближений (7) фигурирует матрица, обратная матрице Якоби, вычислим обратную матрицу:
,
где 
– определитель матрицы Якоби: 
Таким образом, последующие приближения неизвестных для данной системы будем вычислять по формуле (в развернутом виде):
1 итерация
Найдем первое приближение неизвестных, подставив в полученную формулу нулевые приближения :
Проверим достижение точности:
,
Т.к.
точность не достигнута, продолжаем вычисления.2 итерация
Проверим достижение точности:
,
Т.к. точность не достигнута, продолжаем вычисления.
3 итерация
Проверим достижение точности:
,
Таким образом, получено решение системы 