Інтерполяційна формула Лагранжа
Найбільш загальною формулою параболічної інтерполяції є інтерполяційна формула Лагранжа.
Розглянемо спочатку окремий випадок задачі параболічної інтерполяції: побудуємо многочлен рi(x) такий, що рi(xj)=0 при j ≠ i та при рi(xi)=1 (i, j=0, 1, 2, ..., n).
Оскільки шуканий многочлен рi(x) повинен перетворитися на нуль у n точках х0, х1, ..., хi-1, хi+1, ..., хn, то його можна представити у вигляді
| рi(x)=Сi (х–х0) (х–х1) ... (х–хi-1) (х–хi+1) ... (х–хn), | (7.1) |
де Сi – постійний коефіцієнт.
Покладемо х=хi у формулі (7.1) і з огляду на те, що рi(xi)=1, одержимо
| Сi (хi–х0) (хi–х1) ... (хi–хi-1) (хi–хi+1) ... (хi–хn)=1. | (7.2) |
Звідси
 | (7.3) |
Після підстановки виразу (7.3) у формулу (7.1) многочлен рi(x) матиме наступний вигляд
 | (7.4) |
Тепер перейдемо до знаходження многочлена рn(x), що задовольняє умовам
| Рn(x)=f(xi)=yi (i=0, 1, 2, ..., n), | (7.5) |
тобто многочлен набуває в заданих точках х=хi (i = 0, 1, 2, ..., n) задані значення yi.
Легко перевірити, що такий многочлен буде мати наступний вигляд
 | (7.6) |
Дійсно, при фіксованому j (j = 0, 1, 2, ..., n) маємо
 | (7.7) |
отже виконуються умови (7.5). Степінь же многочлена Рn(x) не вище n.
Підставивши у формулу (7.6) вираз (7.4), одержимо
 | (7.8) |
Вираз (7.8) є інтерполяційною формулою Лагранжа.
Запишемо її в розгорнутому вигляді:
При n=1 формула Лагранжа приймає вигляд
 | (7.9) |
і називається формулою лінійної інтерполяції.
При n=2 одержимо формулу квадратичної інтерполяції:
 | (7.10) |
Інтерполяційний многочлен Лагранжа можна побудувати при будь-якому розташуванні вузлів інтерполяції.