4.1. Интерполяционная формула Лагранжа.

Пусть задана система точек , в которых известны значения функции .

			…
			…

Установим зависимость одного ряда чисел от другого и построим новую функцию, которая с определенной степенью точности будет приближена к заданной.

Рассмотрим пример построения интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной системе точек (в общем случае для неравноотстоящих аргументов). Построим некоторый многочлен таким образом, чтобы его значения совпали со значениями функции, заданными в таблице, для тех же аргументов, то есть . Лагранж предложил строить многочлен степени в виде:

.

Здесь в каждом слагаемом отсутствует скобка , которой соответствует коэффициент .

Найдем неизвестные коэффициенты , называемые коэффициентами Лагранжа, используя условие :

При : .

.

Следовательно, коэффициент вычисляется по следующей формуле:

При : .

.

Следовательно, коэффициент вычисляется по следующей формуле:

.

Значения остальных коэффициентов вычисляются аналогично.

С учетом найденных коэффициентов интерполяционный многочлен Лагранжа запишется в виде

Остаточный член формулы:

,

где - точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку .

Пример. По заданной системе точек

	0.5	0.707	1.0

построить интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка вида:

Коэффициенты этого многочлена будут вычислены по формулам вида:

Тогда многочлен Лагранжа второго порядка будет иметь вид:

.

Учитывая, что таблица приведена для функции , вычисленной в контрольных точках , сравним погрешность вычислений данной функции и построенного многочлена в контрольной точке :

и .

Погрешность вычислений, по сравнению с истинным значением, составляет

.

Ниже приведены графики синусоиды и построенного многочлена Лагранжа на заданном интервале. Из графика видно, что многочлена второго порядка достаточно для обеспечения необходимой точности воспроизводимой синусоиды.