Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a, U(a,ε)

Пусть

Пусть p — произвольное положительное число,

тогда: точка при x < a или при x > a:

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлемильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

Ослабим предположения:

Пусть функция f(x) имеет n − 1 производную в некоторой окрестности точки a

И n производную в самой точке a, тогда:

— остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано)

Ряды Тейлора некоторых функций

Экспонента:

Натуральный логарифм:

для всех

Биномиальное разложение:

для всех и всех комплексных где

В частности:

Kвадратный корень:

для всех

для всех

Конечный геометрический ряд:

для всех

Тригонометрические функции:

для всех

для всех

для всех

для всех

Гиперболические функции:

для всех

для всех

для всех