Ряды Тейлора и Маклорена.
= f(x) ( 11 ) Покажем, что коэффициенты этого ряда связаны простым соотношением с f(x) .
Будем последовательно дифференцировать обе части равенства ( 11 ) и вычислять производные при х = х0
f (x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + a3(x – x0)3 + … + an(x – x0)n + . . . , f(x0) = a 0
f ‘(x) = a1 + a2(x – x0) + a3(x – x0)2 + … + n an(x – x0)n-1 + . . . , f ‘(x0) = a1
f ‘’(x) = a2 + a3(x – x0) + a4(x – x0)2 + … + n(n – 1) an(x – x0)n-2 + . . . , f ‘)’(x0) = 2 a2
f ‘’’(x) = a3 + a4(x – x0) + a5(x – x0)2 +…+ n(n–1)(n–2)an(x – x0)n-3 + . . . , f’’’(x0) = 23 a3
f(n) (x) = n(n–1)(n–2) . . . 2 1 an + . . . , f ( n )(x0) = n ! a n
Отсюда находим коэффициенты a0 = f(x0) , an = f ( n )(x0) / n ! ( 12 )
Таким образом, если бесконечно дифференцируемая в точке х0 функция f(x) разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид
f(x) = 
( 13 )
и наз. рядом Тейлора , а при х0 = 0 наз.
рядом Маклорена.Обратная задача. Имеем некоторую функцию f(x) бесконечно дифференцируемую в точке х0 . Составим для неё ряд Тейлора.. Его сумма S(x) не всегда совпадает с f(x) , ряд может оказаться расходящимся или вырожденным. Определим условия, при которых S(x) = f(x).
Сумма n первых членов ряда ( 12 ) Sn(x) наз. многочленом Тейлора , а разность Rn(x) = f(x) - Sn(x) наз. остаточным членом ряда Тейлора.
Теорема. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в точке х0 функция f(x) являлась суммой составленного для неё ряда Тейлора ( 13 ) , необходимо и достаточно, чтобы lim Rn(x) = 0 при n 
.
Док – во. По определению, сумма ряда S(x) = lim Sn(x) при n , поэтому f(x) – S(x) = f(x) - lim Sn(x) = lim ( f(x) - Sn(x) ) = lim Rn(x) = 0
n n n Существуют несколько форм записи остаточного члена. Форма Лагранжа Rn(x) = f(n+1)(
)/ (n+1)! (x – x0)n+1 ( 14 )
Остаточный член n –ого порядка равен n+1 члену ряда, в котором аргументом производной служит некоторая промежуточная точка интервала 
(x, x0). Для оценки Rn(x) достаточно взять максимально возможное значение .