Ряды Тейлора и Маклорена.
= f(x) ( 11 ) Покажем, что коэффициенты этого ряда связаны простым соотношением с f(x) .
Будем последовательно дифференцировать обе части равенства ( 11 ) и вычислять производные при х = х0
f (x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + a3(x – x0)3 + … + an(x – x0)n + . . . , f(x0) = a 0
f ‘(x) = a1 + a2(x – x0) + a3(x – x0)2 + … + n an(x – x0)n-1 + . . . , f ‘(x0) = a1
f ‘’(x) = a2 + a3(x – x0) + a4(x – x0)2 + … + n(n – 1) an(x – x0)n-2 + . . . , f ‘)’(x0) = 2 a2
f ‘’’(x) = a3 + a4(x – x0) + a5(x – x0)2 +…+ n(n–1)(n–2)an(x – x0)n-3 + . . . , f’’’(x0) = 23 a3
f(n) (x) = n(n–1)(n–2) . . . 2 1 an + . . . , f ( n )(x0) = n ! a n
Отсюда находим коэффициенты a0 = f(x0) , an = f ( n )(x0) / n ! ( 12 )
Таким образом, если бесконечно дифференцируемая в точке х0 функция f(x) разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид
f(x) = 
( 13 )
и наз. рядом Тейлора , а при х0 = 0 наз. рядом Маклорена.
Обратная задача. Имеем некоторую функцию f(x) бесконечно дифференцируемую в точке х0 . Составим для неё ряд Тейлора.. Его сумма S(x) не всегда совпадает с f(x) , ряд может оказаться расходящимся или вырожденным. Определим условия, при которых S(x) = f(x).
Сумма n первых членов ряда ( 12 ) Sn(x) наз. многочленом Тейлора , а разность Rn(x) = f(x) - Sn(x) наз. остаточным членом ряда Тейлора.
Теорема. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в точке х0 функция f(x) являлась суммой составленного для неё ряда Тейлора ( 13 ) , необходимо и достаточно, чтобы lim Rn(x) = 0 при n 
.
Док – во. По определению, сумма ряда S(x) = lim Sn(x) при n , поэтому f(x) – S(x) = f(x) - lim Sn(x) = lim ( f(x) - Sn(x) ) = lim Rn(x) = 0
n n n Существуют несколько форм записи остаточного члена. Форма Лагранжа Rn(x) = f(n+1)(
)/ (n+1)! (x – x0)n+1 ( 14 )
Остаточный член n –ого порядка равен n+1 члену ряда, в котором аргументом производной служит некоторая промежуточная точка интервала 
(x, x0). Для оценки Rn(x) достаточно взять максимально возможное значение .
Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House
Ряды Тейлора и Маклорена.
- Шпаргалка на экзамен по высшей математике | Шпаргалка | 2016 | docx | 0.45 МбОпределители и их свойства 2.Миноры и алгебраические дополнения 3. Методы вычисления определителей. 4.Обратная матрица.Теорема о существовании обратной матрицы. 5.Элементарные преобразованияматрицы.
- Лекция по предмету математический анализ | Лекция | 2017 | docx | 0.68 МбНесобственные интегралы. Сходимость интегралов. Критерии сходимости ТЕОРЕМА. (Второй признак сходимости) Признак Дирихле сходимости интеграла. Признак Коши. Признак Даламбера. Интегральный признак
- Параллельно-рекурсивные методы выполнения вейвлет-преобразования в задачах обработки дискретных сигналов Нго Кыу Фук | Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва - 2005 | Диссертация | 2005 | Россия | docx/pdf | 6.81 МбСпециальность 05.13.11 - математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей. ВВЕДЕНИЕ Вейвлет-преобразование (wavelet transformation) в настоящее время
- Разрушение элементов конструкций при высокоскоростном взаимодействии с ударником и группой тел Зелепугин Сергей Алексеевич | Диссертация на соискание ученой степени доктора физико - математических наук. Томск - 2003 | Диссертация | 2003 | Россия | pdf | 10.05 Мб01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. Широкомасштабные исследования процессов высокоскоростного взаимодействия деформируемых твердых тел экспериментального, аналитического, численного
- Психологические аспекты изучения мотивации агрессивного поведения женщин, осужденных к лишению свободы Казакова Елена Николаевна | Диссертация на соискание ученой степени кандидата психологических наук. Рязань - 1999 | Диссертация | 1999 | Россия | docx/pdf | 5.14 МбСпециальность: 19.00.06. - юридическая психология. В контексте социальных реформ, направленных на оздоровление и гуманизацию нашего общества, проблема изучения агрессивных тенденций в области
- Шпаргалка - Банківська система України | Шпаргалка | 2016 | Украина | doc | 0.17 МбПитання Види банків 2.Завдання банківського регулювання 3. Охарактеризуйте порядок створення та організаційну структуру банків. До якої з банківських систем західних країн наближається банківська
- Аналіз діяльності банків | Шпаргалка | 2016 | Украина | rtf | 0.07 Мб1. Предмет і метод аналізу 2. Об¢єкти і суб¢єкти аналізу 3. Інформаційне забезпечення аналізу 4. Мета аналізу 5. Основні принципи аналізу 6. Види аналізу 7. Прийоми і методи аналізу
- Маркетинг и разработка новых банковских продуктов, инновационный менеджмент | Лекция | 2016 | docx | 0.11 МбОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ В МАРКЕТИНГ 1.1. Основные категории маркетинга 1.2. Маркетинг как философия бизнеса Концепция интенсификации коммерческих усилий Концепция интенсификации коммерческих усилий 1.3.
- Ответы на экзамен по высшей математике | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | docx | 2.37 МбВрпросы 1. Декартова и полярная система координат. 2.Расстояние между двумя точками на плоскости. 3.Деление отрезка в данном отношении. 4.Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и в данном
- Ответы по Адвокатуре | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.13 Мб1)Понятие, цели и задачи адвокатуры и адвокатской дея-ти. 2)Взаимодействие адвокатуры с органами гос управления 3)Судебное представительство в России до судебной реформы1864г. 4) Организация