§ 4, Положительное и частично положительные состояния равновесия

В рассмотренных выше примерах матрицы конкуренции оказывались диссипативными, так что вопрос об устойчиво­сти сообщества сводился к существованию при заданном наборе емкостей ниш такого равновесного состояния N* системы (2.7), все координаты которогоА что

можно сказать о стационарных точках, часть координат которых равна нулю? (Будем называть такие точки ча­стично положительными.)

Анализ устойчивости таких точек имеет важное значе­ние в контексте следующей экологической задачи.

Для диссипативных сообществ ответ прост. Поскольку любая подсистема видов диссипативного сообщества вновь образует диссипативную систему, любая частично положи­тельная точка устойчива, пока возмущаются ее положитель­ные координаты, и теряет устойчивость при возмущении нулевых координат, причем если новый набор видов обла­дает равновесием, то возмущенная траектория стремится именно к нему, а в противном случае, — уходит в иные частично положительные точки.

Таким образом, в диссипативном сообществе возможно сосуществование любого набора видов (если только значе­ния емкостей ниш обеспечивают соответствующее частично положительное равновесие), а инвазия новых видов (при том же условии) ведет к их закреплению.

В более общем случае требуется специальное исследо­вание, провести которое помогает описанная ниже «геоме­трическая» интрпппетяция положительности равновесий.

Пусть — неотрицательнаяневы­рожденная п X «-матрица, .— положительный ортант

«-мерного пространства,— векторы ортонормиро-

ванного базиса. Рассмотрим образпри линейном преоб­разовании с матрицей А. Ортантсостоит из векторов вида

где. Преобразование А переводит базисные векторы

Є] в столбцы матрицы(ли­

нейно независимые в силу невырожденности Л), а любой вектор— в их линейную комбинацию с неотрица­

тельными коэффициентами:

Тем самымпреобразование А сжимает ортантв п-гран- ный уголс образующими Ав].

означает, что вектор К принадлежит внутренности угла поскольку непрерывное преобразованиепереводит

ЗСм. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике. — ауКа, 1973, с. 52.

[1] См. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике. M.I Hayfta, 1973, с. 54.

Вернемся теперь к частично положительным точкам равновесия. Будучи решениями системы

частично положительные точки могут иметь нулями всевоз­можные свои координаты, причем значения ненулевых коор­динат являются решениями линейной системы с матрицей А', полученной из матрицы А путем вычеркивания строк и столбцов с номерами нулевых координат («усеченная» матрица). Ясно, что максимальное число всевозможных точек равно 2^Л (сюда входят и точка 0, и положительное равновесие N*). Возникает вопрос, всегда ли существует положительное решение «усеченной» системы уравнений

Ясно, что необходимым и достаточным условием сущест­вования положительного решения усеченной системы (4.7)

имеет неотрицательное решение. Согласно правилу Кра­мера решения линейной системы для этого требуется, чтобы знаки всех отличных от нуля определителей, полученных из матрицы Л' заменой произвольного столбца любым из век-