§ 5. Метод линейного программирования в исследовании матрицы конкуренции
Как отмечалось в § 3, одной лишь специальной структуры (3.1) матрицы конкуренции еще не достаточно для ее положительной определенности и, следовательно, дисси- пативности конкурентного сообщества.
Для матрицы Л не удается выписать значения собственных чисел в общем виде или же доказать без ограничения общности их положительность с помощью критериев локализации типа кругов Гершгорина, овалов Кассини и т. д.Введем следующее ограничение на характер убывания коэффициентов конкуренции по мере удаления видов друг от друга в пространстве ресурса. Допустим, что убывающая функция целочисленного аргумента a(z) > 0 удовлетворяет условиям строгой выпуклости:
Ниже будет доказана следующая
Теорема 2. Матрица
с коэффициентами
удовлетворяющими условиям (5.1), поло
жительно определена.
Предварительно рассмотрим специальный случай расположения ниш, изображенный на рис. 39, — быть может, несколько искусственный, но полезный для целей дальнейшего анализа. Ясно, что при этом коэффициенты конкуренции какого-либо одного вида с остальными вначале убывают до определенного момента, затем возрастают в обратной последовательности.
Обозначая a(m) = ат и полагая a(0) = 1, запишем матрицу конкуренции
Рис. 39. Схема кольцевого расположения экологических нид.
Матрица С(А) является циклической и симметричной, а ее подматрица А, образованная первыми п 1 строками и столбцами, соответствует сообществу с обычной горизонтальной структурой.
Ясно, что матрица А симметрична тогда и только тогда, когда симметричен циркулянт С(А). Заметим, кстати, что любой симметричный циркулянт порядка 2п определяется однозначно набором первых п + 1 элементов первой строки и имеет при этом структуру (5.2).Поскольку сумма элементов в каждой строке С(А) одинакова, положительная стационарная тпчкя А/* ппи пянных правых частях системы уравнений
, будет иметь равные компоненты
Известно *), что решение задачи линейного программирования достигается в одной или нескольких вершинах симплекса Q, определяемого условиями (5.10)—(5.11), причем в последнем случае решением является и любая точка выпуклого множества, натянутого на вершины, которые доставляет минимум линейной формы.
В пространстве переменных X/ вершины симплекса Q имеют следующие координаты:
[1] См. Веллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969, с. 146.
А поскольку доказано, что все p* положительны, то из (5.19) вытекает положительность спектра А, что и требовалось доказать.
Таким образом, когда в конкурентной структуре (3.1) убывание коэффициентов конкуренции имеет выпуклый характер, т.
е. происходит достаточно плавно, матрица А положительно определена и сообщество диссипативно. В частности, именно такой характер убывания имеют рассмотренные выше конкурентные структуры (3.12) и (3.18), а также (2.15) при значениях а, не очень близких к 1. Положительность спектра этих матриц иллюстрирует теорему 2.Заметим, что выпуклость коэффициентов конкуренции связана не только с устойчивостью равновесия N*, но и с самим существованием этого равновесия (положительного решения системы (4.1)). Формула (4.5) показывает, например, что когля вмп\7к.лпгть нарушается достаточг
т. е. когда так, что выражение
2 ~ близко к нулю, мера «равновесности» такого сооб
щества цх весьма мала. Упомянутые в § 2 прямые вычисления решений (4.1) в случае (2.14) при значениях а, достаточно близких к 1 (аименно, тех, которые нарушают условие выпуклости
свидетельствуют, что положи
тельные решения возможны здесь лишь при специальном выборе правых частей
т. е. соответствующий /г-гран- ный угол весьма узок 1см. dhc.38.6) и. в частности, не содержит направления
Кроме того, выпуклость конкурентной функции а(от) оказывается связанной и со степенью влияния хищничества на плотность видовой упаковки в устойчивом сообществе, где конкурирующие виды служат пищей видам-хищникам (см. § 7).