3. 1. Общие замечания

Точки механической системы будем нумеровать индексами i, j, k и т.д., которые пробегают все значения 1, 2, 3…N, где N – число точек системы. Физические величины, относящиеся к k-й точке, обозначаются таким же индексом, что и точка.

На каждую из точек системы действуют силы двоякого происхождения: во-первых, силы, источники которых лежат вне системы, называемые внешними силами и обозначаемые ; во-вторых, силы со стороны других точек данной системы, называемые внутренними силами и обозначаемые . Внутренние силы удовлетворяют третьему закону Ньютона. Рассмотрим простейшие свойства внутренних сил, действующих на всю механическую систему в любом ее состоянии.

Первое свойство. Геометрическая сумма всех внутренних сил системы (главный вектор внутренних сил) равна нулю.

Действительно, если рассмотреть какие-либо две произвольные точки системы, например и (рис. 3.1), то для них , т.к. силы действия и противодействия всегда равны по модулю, действуют вдоль одной линии действия в противоположном направлении, которое соединяет взаимодействующие точки. Главный вектор внутренних сил состоит из пар сил взаимодействующих точек, следовательно

(3.1)

Второе свойство.

Рассмотрим систему моментов сил и относительно точки О (рис. 3.1). Из (рис. 3.1). видно, что

,

т.к. обе силы имеют одинаковые плечи и противоположные направления векторных моментов. Главный момент внутренних сил относительно точки О состоит из векторной суммы таких выражений и равен нулю. Следовательно,

.

(3.2)

Пусть заданы внешние и внутренние силы, действующие на механическую систему, состоящую из N точек (рис. 3.2). Если к каждой точке системы приложить равнодействующую внешних сил и равнодействующую всех внутренних сил , то для любой k-й точки системы можно составить дифференциальные уравнения движения. Всего таких уравнений будет N:

, (3.3)

а в проекциях на неподвижные оси координат 3N:

(3.4)

Векторные уравнения (3.3) или эквивалентные им скалярные уравнения (3.4) представляют дифференциальные законы движения материальных точек всей системы. Если все точки движутся параллельно одной плоскости или одной прямой, то число уравнений (3.4) в первом случае будет 2N, во втором N.

Пример 1. Два груза массой и связаны между собой нерастяжимым тросом, перекинутым через блок (рис. 3.3). Пренебрегая силами трения, а также массой блока и троса, определить закон движения грузов и натяжения троса.

Решение. Система состоит из двух материальных тел (связанных нерастяжимым тросом), движущихся параллельно одной оси х. Запишем дифференциальные законы движения в проекциях на ось х для каждого тела.

Пусть правый груз опускается с ускорением , тогда левый груз будет подниматься с ускорением . Мысленно освобождаемся от связи (троса) и заменяем ее реакциями и (рис. 3.3). Считая тела свободными, составим дифференциальные законы движения в проекции на ось х (имеется в виду, что натяжения нити являются внутренними силами, а вес грузов – внешними):

.

Поскольку и (тела связаны нерастяжимым тросом), получаем

Решая эти уравнения относительно ускоренияи натяжения троса Т, получим

.

Отметим, что натяжение троса при не равно силе тяжести соответствующего груза.