Разрезания. • Преобразование прямоугольника и параллелограмма в квадрат

Многие книги по занимательной математике содержат задачи на разрезание многоугольников. Происхождение этих задач, вероятно, имеет под собой различную основу. Это и разрезание куска кожи или ткани с наименьшими потерями, причем таким образом, чтобы готовое изделие имело как можно меньше швов.

Именно в процессе таких исследований и возникло доказательство теоремы Пифагора, которое изображено на рис. 1.

Внутри квадрата со стороной, равной а + Ь, поме­щены четыре одинаковых прямоугольных треугольника со сторонами, равными соответственно а, b и с.

Размещая эти четыре треугольника двумя разными способами, можно показать, что разность площа­дей большого квадрата и этих треугольников, с одной стороны, равна с², а с другой— (a²+fr²), так что

а²+Ь² = с².

Однако доказательствами такого типа следует поль­зоваться с известной осторожностью.

Следующий классический пример размещений четырех многоугольников показывает, что сумма их

площадей равняется, с одной стороны, 8X8=64, а с другой— 13X8=65 (рис. 2).

Как ставятся задачи на разрезание? Далее мы уви­дим, что любой многоугольник, выпуклый или невыпуклый, можно преобразовать в любой другой равновеликий (т. е. имеющий равную площадь) много­угольник с помощью конечного числа разрезаний.

Упростим постановку вопроса. Возьмем прямоуголь­ник любой формы и найдем, сколько разумно выбран­ных разрезов ножницами (разумеется, по прямым линиям) нам потребуется сделать, чтобы преобра­зовать его в квадрат, равновеликий заданному прямоугольнику.

ЗАДАЧА 1

Для начала возьмем прямоугольник со сторонами, которые относятся как 2:1 (рис.

ЗАДАЧА 2

Несколько сложнее задача о разрезании прямоуголь­ника размером 3X2 (рис. 3). Но и здесь достаточно двух разрезов ножницами.

ЗАДАЧИ 3,4 и 5

Решая задачу 2, мы убедились, что при разрезании на три части предельным является случай прямоуголь­ника размером 2X1 (см. решение задачи 2). Попы-

таемся теперь найти способы разрезания на части, из которых можно было бы сложить равновеликие квадраты, прямоугольников размерами 3>2h, то его следует разрезать на четыре части. (Правда, задачи 4 и 7 несколько поколебали нашу уверенность в этом, поскольку там мы смогли преобра зовать прямоугольник в квадрат, разрезав его лишь на две части.)

Возьмем теперь прямоугольник 4ХЮ Обычно в оптимальном случае прямоугольник разрезается на четыре части.

Вы уверены в этом? Другими словами, можно ли решить задачу, разрезав данный прямоугольник на три части?

Если это удастся, то можно ли обобщить найденное решение?