№16. Нахождение оригиналов для изображений с помощью вычетов.

Оригинал f(t) можно найти по формуле обращения, вычисляя интеграл: f(t) =1/(2pi)?ò(от a-i¥ до a+i¥)F(p)e^ptdp вдоль вертикальной прямой Rep=a в полуплоскости Rep>s, где F(p) аналитична (s - показатель роста оригинала).

В случае, когда F(p) - рациональная функция (частное многочленов), являющаяся правильной дробью F(p)=A(p)/B(p), то она имеет на всей плоскости только конечное число полюсов (если дробь несократима, то полюсами явл-ся нули знаменателя, а их - конечное число: столько, какова степень знаменателя). Кроме того, условие lim (при p®¥)F(p)=0 выполняется, т.к. степень знаменателя больше. Значит, для такой дроби формула (1) верна: f(t) =a(от k=1 до n)Res A(p)/B(p)?e^pt

Пример 1: F(p)=p/(p²-1)² - правильная дробь, p₁=-1, p₂=1 - полюсы второго порядка.

f(t) =Res(в точке р=-1)pe^pt/(p²-1)² + Res(в точке р=1)pe^pt/(p²-1)² =1/1!?lim(при р®-1)(pe^pt/(p²-1)²?(p+1)²)`<sub>p</sub> + + 1/1!?lim(при р®1)(pe<sup>pt</sup>/(p<sup>2</sup>-1)<sup>2</sup>?(p-1)<sup>2</sup>)`_p =1/2?t?sht.

Оригинал правильной дроби можно найти также, разложив ее на простейшие дроби (методом неопределенных коэффициентов), пользуясь таблицей изображений и линейностью изображений.

Пример 2: F(p) =(3p²+3p+2)/((p-2)(p²+4p+8)) =A/(p-2) + (Mp+N)/(p²+4p+8) =1/(p-2) + (2p+3)/(p²+4p+8); 1/(p-2) ¸e^2t;

(2p+3)/(p²+4p+8) =(2p+3)/((p+2)²+2²) =(2(p+2)-1)/((p+2)²+2²) =2?(p+2)/((p+2)²+2²) - 1/2?2/((p+2)²+2²) ¸ ¸2cos2t?e^-2t - 1/2?e^-2tsin2t; (3p²+3p+2)/((p-2)(p²+4p+8)) ¸e^2t + e^-2t(2cos2t-1/2?sin2t).