[§ 9. ВНУТРЕННИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЕЙ И ОТРЕЗКОВ]  

(Теорема 6). Если a, b, с,... - отрезки, А, В, С,... - ортогональ&но пропорциональные отрезкам плоские области, то также про&порциональны и их суммы, т.е., если $ = я + Ь + с + ... ц S = Л + Я + + С + то и s, а, Ь, с,... ортогонально пропорциональны S, А, В, С,...

Непосредственно видно, что если теорема доказана для сум&мы двух отрезков, то ее справедливость для суммы произвольно&го числа членов получается продолжением того же самого рассуж&дения. Поэтому мы докажем ее сначала для двух отрезков, пола&гая, что если s = а + Ьу S = А + В, то sy a, b ортогонально пропор&циональны SyAy В.

Если отрезок/ортогонален а и b одновременно, то/ортого&нален 5, поскольку s лежит в одной плоскости саи Ь. Для нагляд&ности предположим, что я, by s и / исходят из одной точки. Если повернуть систему отрезков а, by Sy не меняя их длины и взаимно&го расположения, вокруг перпендикулярной им оси /, так, чтобы эта система (а значит, и каждый ее отрезок) описала прямой угол, то в результате точки я, by s перейдут в точки а\ b\ s\ но при этом останется справедливым равенство s' = а! + Ь'. Ясно, что/. a\f. b\ f. s' ортогонально пропорциональны отрезкам a, b и s, следова&тельно, если А = у fa* у то В = у fb\ значит, А + В или S = y(f. а! + +/./?') = у/. s\ следовательно, S, А, В ортогонально пропорцио&нальны s, at by и это верно для любого числа членов.

Так как три члена пропорции полностью определяют четвер&тый член, то верна и обратная теорема

(Теорема 7).

s = a + b + c + ..., то S = A + fi + C+...

и наоборот, если при сделанных выше предположениях справед&ливо второе равенство, то справедливо и первое.

В дальнейшем мы все же будем использовать только первое из этих равенств и только для случая двух членов.

Идея ортогональной пропорциональности используется для определения следующего понятия:

(Определение 6). Под внутренним произведением двух плоских областей я понимаю такую величину, которая пропорциональна внешнему произведению, полученному посредством подстановки вместо первого множителя каждого внутреннего произведения ортогонально пропорционального ему отрезка, второй же мно&житель остается неизменным, а знак внутреннего умножения (х) превращается в знак внешнего умножения (.) и

(Определение 7). Под внутренним произведением плоской области на отрезок мы понимаем такую величину, которая ор&тогонально пропорциональна внешнему произведению, которое возникает, если вместо плоской области - множителя указан&ного внутреннего произведения - подставить ортогонально пропорциональный ему отрезок, знак внутреннего умножения заменить знаком внешнего умножения, не меняя при этом ника&ких других множителей.

Например, произведения А х Ъ и С х d> где А и С - плоские об&ласти, bud- отрезки, возникают из а . Ъ и с . d путем замены а и с ортогонально пропорциональными областями А и С соот&ветственно.

Законы, которым подчиняются эти связи, легко получаются на основании теоремы 6.

Так, равенство Лх(В + С) = ДхВ + ДхС доказывается исхо&дя из равенства я.(В + С) = д.В + а.С, если отрезок а перпенди&кулярен Л, и величины доказываемого равенства пропорциональ&ны величинам исходного (на основании теоремы lb). Точно так же, если b и с ортогонально пропорциональны В и С, то с и (Ь + с) (по теореме 6) ортогонально пропорциональны В, С, (В + О, тогда из равенства

(& + с)-Д = ЬД + сД следует равенство

(В + С) хА = ВхА + Сх А.

Аналогично устанавливается, что Лх(Ь + с) = Лх6 + Лхс. Пос&кольку имеет место

а .

то на основании теоремы 7 справедливо доказываемое равенство, члены которого ортогональны членам исходного равенства, т.е. Ax(b + c) = Axb + Axc.