[ЗАКЛЮЧЕНИЕ]14*
Именно в определениях 6 и 7 и в вытекающих из них теоремах мы уже сформулировали понятие внутреннего произведения двух протяженностей более высокой ступени, каждая из которых ока&зывается внешним произведением отрезков.
Следовало бы еще предложить наглядное представление тех связей, законы которых получены как следствия из вышеуказан&ных теорем. Но поскольку они не составляют никаких затрудне&ний, поскольку введены совершенно аналогично тому, как это было сделано для внутренних произведений двух точек, то я пола&гаю, что их можно оставить в стороне.
Я надеюсь также, что изложенного мною достаточно, чтобы показать, как верно Лейбниц -предугадал преимущества чисто геометрического анализа. Он подчеркивал, что решение геомет&рической задачи средствами этого анализа доставляет одновре&менно решение, построение и доказательство, т.е. именно естест&венный способ, и что такие пути решения с необходимостью дик&туются самим этим анализом. Далее, так как любое равенство в данном анализе является геометрическим соотношением, выра&женным средствами этого анализа, высказанным четко и ясно, поскольку оно может быть воспринято непосредственно, ибо это соотношение не отягчено произвольными величинами обычного анализа, например, величинами, зависящими от координат; и так как, далее, любое преобразование одного из таких равенств явля&ется выражением одновременно осуществляемого построения, то отсюда следует, что на самом деле в данном анализе анали&тическое решение геометрической задачи происходит одновре&менно с построением и доказательством [справедливости реше&ния].
Но так как при этом не используется ничего, что не связа&но обязательным образом с прцродой задачи, как, например, координаты аналитической геометрии, то и вид решения зада&чи всегда согласован с ее природой, а поскольку решение обле&чено в форму данного анализа, то нет никакой необходимости вести речь о поиске методов решения. Итак, чтобы новый ана&лиз удовлетворял полностью всем требованиям, необходимо еще было бы развить теорию уравнений, т.е. указать способы элиминировать из уравнений неизвестные величины. Но как это можно осуществить, ясно из того, какие принципы положе&ны в основу построения всей теории.Далее, в качестве важного преимущества геометрического анализа Лейбниц выдвигает то обстоятельство, что, используя средства этого анализа, механику можно трактовать как геомет&рию. И, вообще, он надеется, что средства этого анализа позволят осуществить более глубокое математическое истолкование фи&зики, например, исследовать внутреннюю природу физических тел. Я полагаю, что изложенное мною выше применение [средств этого анализа] к задачам механики на деле показывает, что в ме&ханике можно обходиться чисто геометрическими методами. От&сюда вытекает, что средства этого анализа могли бы быть пере&несены на способы математической трактовки физики. Если бы позволило место, я мог бы привести простые примеры из оптики, акустики, электродинамики и других ветвей физики. Я надеюсь, наконец, что недалеко то время, когда удастся проникнуть в суть внутренней структуры физических тел, т.е. исследовать взаимо&отношение ее простых или составляющих атомов. Ясно также из других приложений, которые допускает этот анализ, например в кристаллографии (ср. Учение о протяженностях, § 171), что но&вый анализ мог бы стать незаменимым, если не затемнять нагляд&ность введением координат, затрудняющим оперирование аппа&ратом и методами, вводящими в заблуждение излишними детали&зациями.
Наконец, в заключении Лейбницева изложения есть замеча&тельное место, где он явно высказывает мысль о применимости данного анализа к объектам, не имеющим пространственной при&роды, но добавляет, что в немногих словах невозможно было бы дать ясное представление об этом предмете.
На самом деле все понятия и законы нового анализа можно изложить независимо от пространственной наглядности, связы&вая их с абстрактным понятием постепенного (непрерывного) пе&рехода, как это и происходит сплошь и рядом в «Учении о протя&женностях» Грассмана.
Если воспринять идею абстрактно истол&кованного непрерывного перехода, то легко можно обнаружить, что развитые в данном сочинении законы допускают трактовку, свободную от пространственной наглядности. Тем самым осу&ществлен и замысел Лейбница, ибо, как мне кажется, нет ниче&го существенного, что можно было бы добавить, чтобы выявить справедливость всего того, что он утверждал относительно гео&метрического анализа, разумеется, за вычетом некоторых пре&увеличений, которые, правда, вызваны скорее способом выраже&ния, чем существом дела, и чтобы обнаружить в этом предмете удивительную силу духа, способного охватить взглядом необозри&мую линию развертывания [предмета] с самых ее истоков, всю важность этого развертывания, а также важность и своеобразие преимуществ, которые оно могло бы принести.