Погрешность произведения. Число верных знаков произведения

Пусть . Заменим А и В на приближенные a и b. При этом получим .

Однако , поэтому .

Разделив полученное выражение на , получим относительную погрешность

.

Предельной относительной ошибкой будет величина .

Обычно предполагают, что и малы, так что их произведением можно пренебречь. Поэтому можно утверждать (приближенно), что предельная относительная ошибка произведения равна сумме предельных относительных ошибок сомножителей.

Сказанное относится к любому числу сомножителей. Поэтому,

если , то .

Последнюю формулу легко получить дифференцированием. Сначала продифференцируем произведение

.

Теперь вычислим дифференциал , заменив его конечным приращением :

Сумма модулей каждого слагаемого определит предельную относительную погрешность. Заметим, что относительная погрешность произведения не может быть меньше относительной погрешности наименее точного сомножителя:.

Отсюда .

Таким образом, уточнение произведения невозможно заменой какого-либо сомножителя более точным.

7)