2.2. Измерение пространственных и временных отрезков

Существует важное инструментальное отличие часов от линейки. Чтобы измерять длину, нам достаточно иметь лишь один экземпляр линейки, т.к. подразумевается, что мы можем свободно перемещать линейку в пространстве. Напротив, перемещаясь в универсальном потоке времени, мы измеряем длительность процесса, используя последовательность эталонных временных промежутков, которые, как мы полагаем, строго совпадают между собой. Мы не можем использовать единственную реализацию эталона времени, т.к. не можем перемещаться во времени сами либо перемещать во времени другие тела или процессы. Часы - это как раз такой инструмент, который генерирует периодические процессы во времени - маркеры равных временных промежутков, используемых для сравнения с длительностью текущей фазы измеряемого процесса. При этом непосредственно убедиться в равенстве длительностей различных периодов колебаний мы не можем, возможно использование лишь косвенных аргументов (например, совпадение показаний многих часов различной природы).

Что же происходит, согласно СТО, при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой и жестко связанного с ней наблюдателя?

Пусть в неподвижной системе покоится стержень, параллельный оси х, причем его концы в этой системе имеют координаты Х] и х2. Тогда длина стержня в этой системе будет равна Ах = Х2 - X]. Используя формулу связи между старыми и новыми координатами

х = (х' + vt') /yjl-p2 найдем (в один и тот же момент времени f) :

Xj =(Xj'+ Vt) /д/l"/?2 , X2 = (X2'+ Vt) /д/l-/?2

так что

Ax = X2- X7 = [fa' + Vt) - (X2' + Vf)[/^1-P2 = Ах'/ф-fi2 .

или

Ax' = Ахд/l-/?2 .

Таким образом, длина стержня Ах' в движущейся относительно него системе отсчета умножается на множитель (радикал), величина которого в общем случае меньше единицы.

Пусть, далее, в неподвижной системе отсчета имеются двое часов. Часы 1 неподвижны, тогда как часы 2 движутся. Пусть происходят два события в моменты времени tj и t2, отсчитанные по неподвижным часам. Используя формулу связи между старыми и новыми значениями времени

12

2. Время и теория относительности

t = (x'v/c2+t')/Jl-p2

будем искать выражение для интервала времени в системе отсчета, жестко связанной с движущимися часами 2 (т.е. в такой, где эти часы 2 покоятся в одной и той же точке х'). Имеем:

U = (x'v/c2+ t'j) /д/l-/?2 , h = (x'v/c2+ t'2) /д/l-/?2

так что

At = t2-t!= f(x'v/c2+ t'2) - (x'v/c2+ t'OJ/sjl-p2

или, в конечном счете

м' = мф-р2.

Таким образом, движущиеся относительно часов 1 (и жестко связанного с ними наблюдателя) часы 2 в общем случае показывают время (At') меньшее, чем часы 1 (At). Если скорость движущихся часов 2 стремится к скорости света, то показываемый ими промежуток времени стремится к нулю.

Примечание: С другой стороны, для этих движущихся часов 2, которые из пространственной точки А перемещаются в другую пространственную точку В, всякие движущиеся равномерно относительно них часы можно рассматривать в качестве вышеупомянутых часов 1, и всегда часы 2 покажут время меньшее, чем часы 1. Иными словами, время, отсчитываемое по часам, равномерно движущимся вместе с данным объектом из одной заданной пространственной точки в другую заданную точку (собственное время данного объекта), является наименьшим. Неверно было бы смешивать данную ситуацию с парадоксом близнецов (о котором речь впереди), когда несколько по-разному движущихся часов попадают из одной пространственно-временной точки в другую пространственно-временную точку - в этом случае наибольшее время покажут равномерно движущиеся часы, тогда как все прочие будут вынуждены (чтобы вовремя оказаться в конечной точке пространства-времени) двигаться неравномерно^.

В результате мы приходим к следующему важному выводу. Если в быстро движущейся ракете имеются два устройства - часы и линейка для измерения пройденного расстояния, то и эти часы, и эта линейка при движении (например, от одной планеты к другой) покажут и время, и расстояние в у раз меньшие, чем соответствующие время и расстояние, измеренные неподвижным наблюдателем одной из планет. При этом величина у равна

у=1/л/1-?\

а скорость v движения ракеты относительно планеты или планеты относительно ракеты (т.е. взаимная скорость) оказывается, как и должно быть, одинаковой:

v = Ax/At = Ax'/At'