[§ 8. ВНУТРЕННЕЕ И ВНЕШНЕЕ УМНОЖЕНИЕ]  

А именно одно из них порождает задачу отыскивать разность произведений по известному произведению разностей точек, рас&крывая скобки, в которые заключены эти произведения разно&стей, для того чтобы придти к еще более свободной и более об&щей трактовке связи, представляющей конгруэнцию.

Другой отправной пункт дальнейшего развития находится в установлении связи между внутренним и внешним произведени&ем.

(Определение 5). Две плоские области А и В я называю орто&гонально пропорциональными отрезками а и Ь, если эти плоские области перпендикулярны отрезкам и обладают таким свойст&вом: если один из отрезков, скажем Ь, не меняя взаимного распо&ложения с соответствующей ему областью В, переместить так, чтобы отрезок Ъ стал равнонаправлен отрезку а, и после этого измерить отрезок b отрезком а, область В областью А, то результаты этих измерений окажутся равными.

Отсюда следует теорема

(Теорема 5). Два внутренних произведения отрезков ах b и cxd соотносятся как внешние произведения12*, которые возни&кают, если вместо двух выбранных сомножителей рассматрива&емых произведений подставить ортогонально пропорциональ&ные этим отрезкам плоские области А и С, а знаки внутреннего умножения заменить знаками внешнего умножения, т.е.

(ах Ь): (с х d) = (А . Ь): (С . d).              (23)

Если с, dy С рассматриваются как некая система, и эта систе&ма произвольно переносится так, что она остается конгруэнтной себе, то в результате такого переноса произведения с х d и С • d не меняются, следовательно, не меняются их значения, если при этом с переводится в то же направление, что и а.

с              С

Если при этих предположениях — = у, то тогда и — = у

а              А

(на основании определения 5). В таком случае, если в равенство

(23) я подставлю уа вместо с и уА вместо С, то мне остается лишь доказать, что

(а х Ь): (уа х d) = (А . Ь): (уА . </).

Это равенство будет доказано, если я докажу, что должно быть верно

(axb): (ах d) = (A .b): (A .d)              (24)

или, что если ах b - а (а х d), где а снова числовая величина, и A .Ъ- а (А . d). Но если axb = а (а х d), то верно и axb=ax (ad), следовательно, а х (b - ad) = 0, следовательно, b - ad либо есть нуль, либо ортогонален а (по теореме 3), т.е. так как А - плоская область, ортогональная а, отрезок Ъ - ad либо равен нулю, либо параллелен А. Но, далее, внешнее произведение некоторой пло&ской области на параллельный ей отрезок дает нуль (Учение о протяженностях § 54 и 55), значит, А . (b - ad) есть нуль, значит, А . b равно А . ad и равно а(Л . d), т.е. равенство (24) доказано. Но тогда доказано и равенство (23) для случая, когда а и с равнона- правленные отрезки, а сейчас будет доказано и в общем случае.

Эту теорему мы можем сфомулировать более общо, если скажем:

(Теорема 5Ь). Справедливость равенства, члены которого яв&ляются внутренними произведениями двух таких отрезков или кратными таких произведений, не нарушится, если заменить эти внутренние произведения пропорциональными им внешними произведениями, возникающими, если вместо некоторого множи&теля такого внутреннего произведения поставлена ортогональ&но пропорциональная ему плоская область, а вместо знака внут&реннего умножения - знак внешнего умножения. Я, наоборот, из этого последнего равенства можно получить первое равенство.

Если данные внутренние произведения пропорциональны не&которой последовательности числовых величин, то внешние про&изведения, пропорциональные этим внутренним, пропорциональ&ны той же последовательности числовых величин, поэтому дока&зательство теоремы сразу следует из определения 2.

Так как идея ортогональной пропорциональности может быть перенесена на другие внешние произведения, то в ней содер&жится зародыш ранее названного дальнейшего развития [тео&рии]. Я изложу теперь этот ход обобщения, но прежде, чем про&слеживать другой упомянутый выше путь, я покажу, насколько до сих пор развитый анализ обладает названными Лейбницем преимуществами, применяя его к геометрии и механике.