[§ 2. КОНГРУЭНЦИЯ И КОЛЛИНЕАЦИЯ]  

Прежде всего тем, что вместо простого отношения равенства, которое только и уместно в математических формулах, дабы бы&ла возможна подстановка, вводится отношение конгруэнтности8*.

Эту возможность подстановки, исключенную в случае выше&приведенных обозначений, мы должны с необходимостью преду&смотреть для любых математических обозначений, если они должны приводить к плодотворным результатам. Поэтому мы, прежде всего, должны изменить обозначения и ввести существен&ное отношение - отношение равенства, просто полагая равным то, что взаимозаменяемо в каждом суждении.

Спрашивается, если abc конгруэнтны def, что тогда является равным в обеих совокупностях точек? Очевидно, в таком случае должна быть подставляема какая-то геометрическая функция трех точек a, by с, равная соответствующей функции трех точек d, еу f Обозначим пока эту функцию посредством figura или fig. и вместо abc X def будем писать

fig.(a, by с) =fig.(dy eyf)

и точно так же

figla, b) =fig.(dy є),

если длина ab равна длине de.

Тогда обнаружение вида этой функции зависит от вида функ&ции двух точек, именно от вида функции b)y так как равен&ство figXa* by с) = fig.(dy eyf) является композицией трех равенств

fig.(ay b) =fig.(dy е)

figlby с) =fig.(e9f)

fig.(c9 a) =fig.(fy d).

Прежде всего, если нам удастся отыскать эту функцию и за&коны, которым она подчиняется, то мы имеем полное право на подстановку.

form(a, Ъ, с) =form(dt etf).

Так мы могли бы посредством особых знаков выразить равен&ство площадей, заключенных между тремя точками, или равенст&во объемов между соответствующими четырьмя точками, или аффинность.

Однако мы сразу же переходим к наиболее общему линейно&му преобразованию, коллинеации, и для двух коллинеарных сово&купностей

а, Ъ, с, dy ej и а\ Ь\ с', d\ e\f полагаем равенство

collin{a, by Су dy eyf) = соШп(а\ Ь\ с', d\ e\f).

Среди всех этих преобразований, рассматриваемых с опре&деленной точки зрения, конгруэнция оказывается простейшим, поскольку здесь все сводится к функциям двух точек. В этом ас&пекте коллинеация оказывается самым запутанным преобразо&ванием, поскольку здесь пять точек, никакие четыре из кото&рых не лежат на одной плоскости, могут быть поставлены в от&ношение коллинеации с любыми другими такими же точками, и лишь для шестой точки возможно дать определение способа преобразования: если даны шесть точек некоторой системы, тогда определены соответствующие шесть точек другой систе&мы. Простейшая функция, к которой можно все свести при коллинеации в пространстве, является функция, зависящая от шести точек. Легко видеть, что две системы, состоящие из лю&бого количества точек, тогда и только тогда могут быть преоб&разованы посредством коллинеации, когда между соответству&ющими шестью точками двух систем имеет место простейшее родство.

Итак, в то время как конгруэнция сводится к функции двух то&чек, коллинеация сводится к функции шести точек. Если же, на&оборот, обращать внимание на прием, каким обусловлены две точки в случае конгруэнции и шесть точек в случае коллинеации, то коллинеация оказывается простейшим родством.

Поскольку, если даны две точки некоторой системы и только одна из соответствующей ей конгруэнтной системы, то второй точкой этой системы является произвольная точка сферы, цент&ром которой служит первая точка второй системы, а радиус равен расстоянию между заданными точками первой системы.

Исходя из этого, я рассматриваю сначала только коллинеар- ные системы одной и той же плоскости. В таком случае четырем точкам, никакие три из которых не лежат на одной прямой, лю&бые четыре точки, обладающие этим свойством, полагаются как соответствующие точки коллинеарно-родственной системы, но тогда для любой пятой точки одной из систем полностью опреде&лена соответствующая точка коллинеарно-родственной системы, и задача состоит в том, чтобы найти явный вид этой зависимости.