Раздел 2 РАВЕНСТВО ВЕЛИЧИН 

9. a = д, или словами: каждая величина равна самой себе. Доказательство. Следует непосредственно из Определения 2,

или словесно: Согласно № 2, две величины называются равными, если без изменения значения одну из них можно заменить другой.

10. а о Ъ о с о d = ((а о b) с) о d; или словами: В каждой после&довательной связи величин скобки можно как угодно уда&лять или последовательно расставлять.

Доказательство. Следует непосредственно из № 7, или слова&ми: Обе части равенства различны по форме связи. Однако, в со&ответствии с № 7, в последовательной связи скобки можно уда&лить; если сделать это в правой части, то обе части станут равно- звучными, следовательно, согласно № 9, они равны.

10 b. G1>rt+1 (aa) = (Gln(aa)) о an

G\ Aaa)~ a\ oa2 oa3 ° " • •

Целостность, состоящая из n + 1 величин au a2, a3, an+l, равна целостности, состоящей из п первых величин, связанной с величи&ной ал+1.

Доказательство: непосредственно следует из № 7.

11. (a = b) = (Ь = а), или словесно: обе части равенства можно поменять местами.

Доказательство: в виде формул:

(а = Ь) = (а = а)              (согласно № 2)

= ф = а)              (согласно № 2).

Словесно: две величины равны друг другу, если в каждой свя&зи одну из них можно заменить другой, не меняя значения, стало быть, первую величину можно подставить вместо второй, а вто&рую - вместо первой.

12. Определение: Две величины называются условно равны&ми, или равными относительно некоторого условия, если эти ве&личины равны, коль скоро выполняется это условие39*.

Знаком условного равенства является звездочка служит для присоединения условия, при котором наступает равенство.

13. а о 6 а о с * - условие Ъ = с, или

допущение Ъ = с, заключение [следствие] аой = дос, или сло&весно: равенство остается верным, если обе его стороны одинако&вым образом связаны с равными величинами.

Доказательство: Непосредственно получается из № 2, или словесно: величина b равна с означает, согласно № 2, что одну из них можно заменить другой без изменения значения; поэтому, и в связи а о Ъ без изменения значения вместо Ъ можно подставить с т.е., используя № 9, получаем а о Ь = а о с.

14. Допущение: (а = Ь). Заключение: F(a) = F(b)y или словесно: Если две величины равны между собой, то и каждая формула или функция первой величины равна соответствующей формуле или функции второй величины.

Доказательство: непосредственно получается из № 2, или сло&весно: Формулы двух величин называются соответствующими, если они становятся равнозвучными, когда во второй формуле вместо второй величины поставить первую. Но, согласно допуще&нию, а - Ьу поэтому одну из этих величин можно, не изменяя зна&чения, заменить другой во всякой связи, следовательно, и в фор&муле F(a); тогда обе формулы становятся равнозвучными или равными, поэтому F(a) = F(b).

15. Допущение: а = с, Ъ = с. Заключение: а = Ь. Если две величи&ны равны некоторой третьей величине, то они равны между собой.

Доказательство. В формулах: допущение Ь = с, заключение: (а = с) = (а = Ь) (согласно 13), или словесно: равенство с = Ь, согласно 13, остается верным, если обе его части одинаковым способом связать с одной и той же величиной а; поэтому (а = с) = (а = Ь).

16. Допущение: а = Ь, Ь = с. Заключение: а = с, или словесно: если одна величина равна другой, а другая равна третьей, то пер&вая равна третьей.

Доказательство: Получается непосредственно из 13. Допуще&ние: Ъ = с.

17. Предложение о прямом (непосредственном) доказательст&ве для величин:

допущение: а{ = а2, а2 = а3, ..., а^х = ап              заключение

или а-Ь              ах = ап,

или словесно: Если в некоторой последовательности величин ка&ждая предшествующая величина равна непосредственно следую&щей, то первая величина последовательности равна ее последней величине.

Доказательство в виде формул:

Допущение: а{ = а2, а2 = ау Заключение: ах = аъ (согласно

16).

Допущение: ах = а3, а3 = а4. Заключение: ах = а4, аъ = а4.

(согласно 16), и т.д.

Допущение ах = ап_х> а^х = ап. Заключение: а{ = ял (согласно

16).

Доказательство словесное: Согласно предположению, первая величина равна второй. Но поскольку, далее, каждая предшеству&ющая величина равна непосредственно последующей, то в каждом равенстве можно заменить непосредственно предшествующую ве&личину непосредственно следующей величиной. Поэтому в правой части первого равенства вторую величину можно заменить треть&ей, третью - четвертой и так поступать до тех пор, пока первая ве&личина не будет заменена последней величиной последовательно&сти, и таким образом, первая величина равна последней.

18. Предложение о поступательном (индуктивном) доказа&тельстве для величин41*.

Допущение: F(ax) = 9\ах\ [F(aQ) = &(аа)] = [F(aa+X) = ^(aQ+l)]. Заключение: F(an) =              или словесно: Каждое равенство уче&

ния о формах, справедливое для первой величины последователь&ности и такое, что если оно справедливо для некоторой произ&вольной величины последовательности, то оно имеет силу также для непосредственно последующей величины последовательно&сти, справедливо для всех следующих одна за другой величин по&следовательности.

Доказательство в виде формул: Имеет место F(ax) = F(в,) и [F(ax) = 9(аг)] = [F(a2) = &(а2)].

Заключение: F(az) = 9(а2)              (согласно № 2)

Имеет место: F(a2) = &(а2) и [F(a2) = &(а2)] = [F(a3) = &(аг)].

Заключение: F(a3) = 9(аъ)              (согласно № 2)

и т.д.

Имеет место: F(a^) =              и [F(an_x) = 9(ап_{)] = [F(an) = &(ап)].

Заключение: F(an) = 9(ап)              (согласно № 2).

Доказательство словесное: Согласно допущению, равенство F(a{) = 3*(а{) справедливо для первой величины последовательно&сти.

согласно № 17, справедливо и равенство а{ ± т.е. в этом равен&стве первую величину последовательности, а{у можно заменить последней величиной этой последовательности, аю или иначе: поскольку данное равенство справедливо для первой величины, оно справедливо также и для последующих величин последова&тельности.

19. Предложение о доказательстве для штифтов (относящем&ся к элементам [elementaren] доказательства).

Каждое равенство учения о формах, справедливое для одного штифта, или элемента, и такое, что если оно справедливо для не&которой произвольной величины, то оно справедливо и для вся&кой величины, содержащей на один штифт больше, тогда это предложение справедливо для всех величин, строящихся посред&ством последовательной связи.

Доказательство: Получается непосредственно из 18, если в качестве первой величины взять данный штифт, а в качестве не&посредственно следующей каждый раз брать величину, содержа&щую на один штифт больше, чем величина, полученная на пред&шествующем шаге.