ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ  

Две величины называются равными, если в любой связи уче&ния о формах одну из них можно заменить другой без изменения значения.

Две величины называются неравными, если ни в одной связи учения о формах ни одну из них нельзя заменить другой без изме&нения значения.

Никакая величина никогда не может быть равна и вместе с тем не равна другой величине, но она должна быть либо равной, либо неравной другой величине, ибо каждая величина должна иметь одно, а не несколько значений.

3. Штифтом, или элементом, называется величина, которая подлежит связыванию, однако сама не возникла с помощью связи, и которая, поэтому, должна быть полагаема в каче&стве первоначальной.
4. Буква есть знак величины.
   Одна и та же буква в одном и том же параграфе учения о формах всегда обозначает единственную, притом одну и ту же величину, следователь&но, имеет только одно значение. Впрочем, каждая буква обозначает любую величину.

Каждое предложение, доказанное для некоторой буквы, име&ет силу для всех величин, которые эта буква может обозначать, т.е. для произвольной величины33*. Если буква должна обозна&чать только один определенный вид величин, то об этом следует ясно сказать в этом параграфе и точно и недвусмысленно указать, какие величины мы хотим обозначить таким способом, ибо иначе данное предложение имело бы силу для любых возможных величин.

В учении о формах знаки е[9 е2 [, ...] являются знаками штиф&тов, а буквы (а, Ь, с,...) - знаками произвольных величин.

Если дан ряд величин (например, состоящий из п величин), то величины этого ряда обычно обозначают одной и той же буквой с нижними индексами, например: а{9 а2, я3, а„_h ап.

5. Связью величин называется любое возможное для челове&ческого ума сопоставление или взаимосвязь величин, коль скоро она имеет одно, а не несколько значений.

Целостностью, или результатом, связи называется то, что возникает посредством связи двух величин. Поскольку целост&ность имеет только одно значение и является предметом мышле&ния, она, в свою очередь, есть некоторая величина и может быть связываема снова.

Знаком связи может стать любой знак. Один и тот же связую&щий знак в одном и том же параграфе учения о формах обознача&ет всегда единственную, причем одну и ту же связь. Впрочем ка&ждый связующий знак может обозначать любую из возможных связей.

Каждое предложение, доказанное для некоторого связую&щего знака, справедливо, следовательно, для всех связей, кото&рые может обозначать этот знак. Если некоторый связующий знак должен обозначать только один определенный вид связи, то при его введении об этом следует ясно сказать и недвусмыс&ленно установить, какая связь должна таким способом обозна&чаться.

Общим знаком для обозначения произвольной связи является кружок о, помещаемый между связываемыми вещами (например, аоЬ, читается: «а кружок b, или «а связано с Ь»у или «а с Ь»).

Особыми знаками связи являются знак равенства = и знак неравенства Первый означает, что связываемые величины равны (например, а = /?, что читается «а равно 6»), а второй оз&начает, что связываемые величины неравны (например, а ^ Ьу читается «а не равно Ь»).

Связь двух величин посредством знака = называется равенст&вом. Величина, стоящая слева, называется его левой частью, а стоящая справа - его правой частью.

6. Каждая связь величин имеет место только между двумя ве&личинами, ибо только такая связь имеет одно, а не несколько зна&чений34*.
   Если требуется связать больше величин, то необходимо точно и недвусмысленно установить, какова третья величина, с которой должен быть непосредственно связан результат упомя&нутой связи и т.д.

Скобка есть знак того, что величины, в ней заключенные, сначала должны быть связаны в некоторую целостность, прежде чем допустимо связать их с величиной, находящейся вне скобки.

В каждой скобке могут стоять только две величины. Если же в ней содержится больше величин, то все они одна за другой

7. Грассман Г., Грассман Р.

должны быть заключены в другую скобку, и прежде чем находя&щаяся в этой скобке целостность может быть связана с величи&ной, стоящей вне этой скобки, все величины, в ней находящиеся, должны быть связаны в некоторую целостность.

Если необходимо связать п величин, то в соответствующем выражении потребуется п - 2 скобки, ибо не должно быть ника&кого сомнения относительно порядка следования связей (напри&мер, в случае 5 величин требуется 3 скобки:

[а о ([b oc]od)]o *])3s\

7. Последовательно связать ряд величин значит сначала связать первую величину со второй, целостность, возникаю&щую из этой связи, связать с третьей величиной. Всякий раз це&лостность, возникающая в результате связи всех предшествую&щих величин, связывается с непосредственно следующей вели&чиной36*.

Если последовательно связаны несколько величин, то мы можем опустить скобки, так как относительно очередности дан&ной связи не может быть никаких сомнений. Скобки должны стоять только там, где происходит отклонение от последова&тельной связи; однако их можно снова ввести в последователь&ную связь.

Целостность, представляющую собой последовательную связь величин al9 аъ аъ> ..., а„, будем обозначать посредством GX n.

8. Формулой называется любая связь величин; характер фор&мулы определяется видом данной связи.

Формулой от а называется формула, содержащая величину а. Она обозначается посредством F(a), читается: «формула от а». Знак F(a) в одном и том же параграфе учения о формах обозна&чает единственную формулу от а. В иных случаях он может обо&значать любую формулу от я. Если требуется, чтобы этот знак обозначал только один вид формул, то об этом следует четко сказать.

Равнозвучными называются две формулы, содержащие одни и те же связи между одними и теми же величинами37*.

Две формулы называются различными, если у них не совпада&ют связи или величины. Две различные формулы равны между собой, если одна из них может быть преобразована в другую без изменения значения.

Соответствующими называются две формулы, которые ста&новятся равнозвучными, если в одну из этих формул поставить ве&личины из второй формулы.