Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при известных математических ожиданиях

Данная гипотеза может найти применение, например, при метрологической аттестации нового измерительного прибора.

Ж Пример 20. Проведено исследование розничного товарооборота продовольственных магазинов в двух районах области (по 50 магазинов в каждом).

В данном случае речь идет о необходимости проверки гипотез о равенстве дисперсий двух выборок при известных до опыта математических ожиданиях.

Исходные предположения

Пусть имеются две выборки X, І = 1, «| , y„j = 1 ,п2 случайных величин X и Y из нормальных генеральных совокупностей и пусть математические ожидания тх и ту этих случайных величин известны. Необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий случайных величин.

1. й шаг. Формирование основной Н0 и альтернативной Н\ гипотез:

Н0: а2х = а2, .

Ну. а2х * о2.

2. й шаг. Задание уровня значимости а.
3. й шаг. Формирование критической статистики. В качестве меры различения ох и оу2 выбрана величина

Ч*кр — о/ /оу .

Примем доказательства, что предельное распределение статистики ц/цр как случайной величины стремится к F-распределению Фишера F^^; иь «г) с щ и п2 числом степеней свободы

Urn F(vpKр) = F(i|/Kp; щ, пі).

щ ,»2 “gt;°°

4. й шаг. Определение критических границ.

Верхняя критическая граница определяется как процентная

ОС

точка распределения Фишера уровня —*100%

2

4V» = Fa (п\ gt; и2 ) •

-100%

2

Для F-распределения Фишера нижняя критическая точка может быть найдена из выражения

ЧЛф.н - F а (HjjWj) — l/t^Kp.B •

(1~)-100% V

Значение процентной точки F„              (п,,              пЛ находится из таблиц

— 100%

2

математической статистики для распределения Фишера (см.

5. й шаг. Расчет наблюденного или расчетного значения критической статистики из выражения

і «і

~2 ~Y/X,~mxf

= ^, .              (32)

где д2х и а2 - оценки дисперсий случайных величин X и Y, полученные по выборкам из генеральных совокупностей.

Если выполняется условие

F а (и,lt; \|/расч lt; Fa (пх,п2),              (33)

(1--)100% н —100%

2 2

то Но верна с ошибкой первого рода, в противном случае Н0 отвергается (см. рис. 18).

Рис. 18. Графическая иллюстрация области принятия и отвержения гипотезы //о

Пример 21. В банке в течение двух дней проводилось исследование времени обслуживания клиентов. Данные представлены в табл. 3. Обозначим время обслуживания клиентов в первый деньХ, а во второй - Y.

Статистические данные времени обслуживания клиентов в банке

Известно априори, что тх= 17,8, mY = 17,6, щ = п2 = 55. Можно ли считать одинаковыми отклонения от среднего времени обслуживания клиентов банка в 1-й и во 2-й дни при а = 0,01?

В данном случае предстоит проверить гипотезу о равенстве дисперсий при известных математических ожиданиях.

1. й шаг.

Но. Ох — Gy ,

#1: сх * о2.

2. й шаг. а = 0,01.
3. й шаг. ф,ф = д\ / а2.

Из предыдущего известно, что при п\ и «2              00              распределение

статистики \ркр стремится к распределению Фишера F(v|/Kp; п\, п2).

4. й шаг. Находим верхнюю и нижнюю критические границы, используя таблицу процентных точек распределения Фишера (прил. 4),

1              ЧЛф.в=              Fo5%(55,55)              =              2,04,

фкр.„= 1/2.04 = 0,49.

5. й шаг. Расчетное значение критической статистики находим из (32)

- 8’38_ , от Н^расч о і л “ 1)03 . о, 14

Поскольку условие (33) выполняется 0,49 lt; 1,03 lt; 2,04, то Н0 верна, т. е. дисперсии ох и ст2 можно считать равными.

Пусть имеются две выборки і = 1, щ , yj,j= 1,7*2 случайных величин X и Y из нормальных генеральных совокупностей и пусть математические ожидания тх и mY неизвестны. Необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий.

1. й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

Я0: а2х = а2у ,

Н\ох Ф о у .

2. й шаг. Задание уровня значимости а.
3. й шаг. Выбор критической статистики

^=S2XI S2. ¦

"І! .

Помните, что в качестве оценки дисперсии по возможности всегда необходимо использовать несмещенную оценку.

При неизвестном математическом ожидании оценка S2 может быть получена из (13) или (14).

Предельное распределение статистики vpкр при неизвестных тх и mY стремится к распределению Фишера с (тц- 1) и (и2- 1) числом степеней свободы

lim Я(\]/кр) = Я(\]/кр;и| - 1,и2-1).-

«I ,/?2              4

4. й шаг. Определение критических границ. Соответственно верхняя и нижняя критические точки равны:

ч'--=

2

ЧЛф.н — F( „\              (пі — 1, п2—1) — ІЛфіфв.

11-у 1-і 00%

5. й шаг.
   Расчетное значение критической статистики при неизвестных математических ожиданиях определяется из выражения

s1

4V- =37 = -              gt;              lt;34gt;

Х(gt;’, -Гп/

«2 ~ ^ .И

где S2X и Sj- несмещенные оценки дисперсий случайных величин X и Y, полученные по выборкам.

Если выполняется условие

Ff оЛ ("1—1 , «2-1) lt; Урасч lt; Fa ( «1-1 , «2-1),              (35)

11-J1-100%              Л              J-I00%

то Но верна с ошибкой первого рода. В противном случае Но отвергается.

Пример 22. Для данных примера 21 проверить гипотезу о равенстве дисперсий при неизвестных математических ожиданиях тх и ту для уровня значимости а = 0,1.

Поскольку тх и ту неизвестны, то для поиска д2х и б2 воспользуемся оценками тх и ту. По статистическим данным получим

тх = 17,84, тг = 17,65, S2X = 8,54, S2y = 8,29.

Верхняя и нижняя критические границы могут быть найдены по таблице процентных точек F - распределения Фишера (прил. 4)

i|Vb = F5% (54,54) = 1,73,

1/1,73 = 0,58.

ц/расч найдем из (34)

V,»c,= —= 1,03.

расч 8,29

Поскольку выполняется условие (35) 0,58 lt; 1,03 lt; 1,73, то гипотеза Но о равенстве дисперсий при неизвестных математических ожиданиях не отвергается.

Пусть даны две выборки из нормальных генеральных совокупностей случайных величин X и Y и известны их дисперсии. Необходимо проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий.

1. й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

Я0: mx=mY,

Ну тхФ тк.

Такая задача ставится обычно тогда, когда выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо ли это различие?

2. й шаг. Задание уровня значимости а.
3. й шаг. Формирование критической статистики и определение закона ее распределения при nxs оо, щ-s оо

lim Дц/іф) = Ф (i|/Kp; 0,1),

где Ф (і|/кр; 0,1) - стандартизованное нормальное распределение [1].

4. й шаг. Верхняя и нижняя критические границы соответственно равны

Ч*кр.в М)-а gt;

/Г

Ч*кр.Н              Чбф.В              5

1-а

где «|_а - квантиль уровня               нормального              распределения              на-

Т              2

ходится по таблице прил. 1.

5. й шаг. Определение расчетного значения критической стати

стики

Ч*расч

(36)

тх ~ Щ

(37)

и принятие решения. Если выполняется условие

ЧЛф.н ^ Н^расч ^ ЧЛср.в ?

то гипотеза Н0 верна. В противном случае Н0 отвергается с ошибкой первого рода а.

Данный алгоритм проверки гипотез о равенстве тх и ту справедлив и при отклонении распределения случайных величии X и Y от нормального, но при условии, что пх и пг больше 30.

Пример 23. Для данных примера 21 проверить гипотезу о равенстве тх и ту при условии, что дисперсии априори известны и равны о2, = 8,65, о2 =8,12 при а = 0,05. Оценки тх = 17,84, щ = 17,65, необходимые для вычисления ц/рас, из (36), получим по выборкам.

Верхняя и нижняя критические границы могут быть найдены по таблице функции нормального распределения (прил. 1)

Н*кр.в 1,96, v|/|lt;p H 1,96 .

Следовательно,

Поскольку условие (37) выполняется -1,96 lt; 0,344 lt; 1,96, то Но

верна. Следовательно, тх и ту (среднее время обслуживания клиентов в банке в 1 -й и во 2-й дни) можно считать равными.

Пусть имеются две выборки из нормальных генеральных совокупностей случайных величин X и У. Необходимо проверить гипотезу о равенстве тх и ту

1. й шаг.
   Формирование основной и альтернативной гипотез

Ну. тх —ту,

Ну. тхФ ту.

2. й шаг. Задание уровня значимости а.

3. й шаг. Формирование критической статистики

I^~-1)S2x+(h2-1)S2 У (и, + щ - 2)

Предельное распределение статистики \укр стремится к (-распределению Стьюдента с (nt + п2 - 2) числом степеней свободы.

lim F(yiKp) = (пх + щ - 2).

4. й шаг. Верхняя и нижняя точки критерия находятся из выражений

Ч*кр.в              ТІ2              2),

Н^кр.н              Ч^Кр.В5

где (“ юо% (иі + п2 - 2) - верхняя процентная точка (-распределения

Стьюдента, которая может быть определена по статистическим таблицам прил. 2. Поскольку (-распределение Стьюдента симметрично, то нижняя критическая точка симметрична верхней относительно 0.

5. й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

Если выполняется условие

М^кр.н ^ фрасч ^ фкр.в,              (39)

то гипотеза Н0 верна. В противном случае Но отвергается с ошибкой первого рода а.

Данный алгоритм проверки гипотез о равенстве тх и ту справедлив и при отклонении распределения случайных величин X и Y от нормального, по при условии, что пх и и2 больше 30.

Пример 24. Для данных примера 21 проверить гипотезу о равенстве тх и ту при условии, что дисперсии о х и о2у неизвестны, а уровень значимости а = 0,01. Для вычисления урасч воспользуемся значениями тх , щ, S\ и S2, полученными по эмпирическим данным

тх = 17,84, щ = 17,65, S2x = 8,38, S2y = 8,14.

Из выражения (38) получим

|17,

Н/расч /54І

84-17.651

Верхнюю и нижнюю критические точки находим по таблице процентных точек /-распределения Стьюдента (прил. 2)

ЧЛф.в= 10.5 % («і + «2_ 2) = /0.5 % (108) = 2,62, фкр.Н фкр.В — 2,62 .

Следовательно условие (39) выполняется -2,62 lt; 0,097 lt; 2,62, т. е. гипотеза Н0 верна с ошибкой первого рода а = 0,01.