Раздел 5
ПЕРЕСТАНОВКА ВЕЛИЧИН
Определение. Перестановкой называется такая связь ве&личин, для которой, кроме объединения, справедлива и переста&новка двух штифтов, или элементов.
= е{ о е2 = е2 о е{.
Если имеет место перестановка, то два штифта, или элемента, можно поменять местами.
- Закон перестановки (закон упорядочения).
В любой связи произвольных величин, для которых имеет ме&сто перестановка, не меняя значения целостности, можно как угодно расставлять или удалять скобки, и произвольным образом менять порядок связываемых величин; целостность при наличии такой связи представляет собой величину, штифты, или элемен&ты, которой связаны последовательно.
Доказательство с помощью формул распадается на три части, а именно следует доказать:
- что величину и штифт можно поменять местами, или
- что две величины можно поменять местами, т.е. что
- что в случае нескольких величин, каждая из них может за&нять любое место, или что aobocod = aodoco b46*.
а. Доказательство для штифтов, или основное относительно а.
- Равенство а о ех = ех о а выполняется, если а представляет собой один штифт е2у ибо е2 о ех = ех о е2 (согласно 28).
- Если рассматриваемое равенство справедливо для некото&рой произвольной величины а (допущение), то оно справедливо и для величины а о е2, которая содержит на один штифт е2 больше (заключение); ибо
(а о е2 ) о ех = а о (е2 о ех) (согласно 22)
= а о (ех о е2) = (а о ех) о е2 = (ех о а) о е2 = ех о (а о е2)
(согласно 28) (согласно 22)
(согласно допущению) (согласно 22).
3.
Следовательно, рассматриваемое равенство справедливо в общем случае.
Ь. Доказательство для штифтов, или основное относитель&но Ь.
- Равенство а о Ъ = Ъ о а верно, если Ъ представляет собой только один штифт е (согласно 29 а).
- Если рассматриваемое равенство верно для некоторой про&извольной величины Ъ (допущение), то оно верно и для каждой величины Ъ о е, которая содержит на один штифт больше; ибо
а о (Ь о е) = (а о Ь) о е (согласно 22)
4. Следовательно, согласно 19, данное предложение справед&ливо в общем случае.
с. Поскольку имеет место объединение, величины, находящи&еся между переставляемой величиной d и тем местом, на которое она должна быть поставлена, можно заключить в скобку; тогда мы имеем:
aobocod = ao[(boc)od] (согласно 25)
Словесное доказательство: а. Поскольку имеет место пере&становка, то, согласно 27, имеет место и объединение, стало быть, согласно 25, скобки можно любым способом расставлять или удалять, не меняя значения целостности.
- Но любой штифт можно поместить на любое произвольно взятое место. Ибо, согласно закону объединения, № 25, произ&вольный штифт вместе с соседним с ним, например предшествую&щим, штифтом можно заключить в скобку, затем эти штифты по&менять метами, затем снова удалить скобку. Таким же образом тот же штифт можно снова поменять местами с соседним, напри&мер предшествующим, штифтом, заключить эти штифты в скоб&ку, снова переставить штифты, затем удалить скобку, и так далее. Стало быть, любой штифт без изменения значения можно поме&стить на произвольное предшествующее или последующее место.
- Равным образом, любую величину можно поместить на про&извольное место, шаг за шагом помещая на это место все штифты, содержащиеся в данной величине, значение ее при этом не меняет&ся. Следовательно, порядок связываемых величин можно любым образом изменять, значение целостности при этом не будет ме&няться. Эта целостность, в соответствии с 25, в свою очередь, будет некоторой величиной, штифты которой связаны последовательно.
- В каждой связи величин, для которой справедлива переста&новка, вместо штифтов, или элементов, можно подставлять в ка&честве штифтов, или элементов, произвольные величины, постро&енные из этих штифтов, и получить таким способом новые вели&чины, для которых будут иметь место все законы перестановки.
Доказательство: Все законы перестановки выводимы из двух основных формул а о ф о е) = а о b о е и ех о е2 = е2 о ех, а послед&ние, в соответствии с 29, справедливы для произвольных величин; стало быть, и т.д.
Еще по теме Раздел 5
ПЕРЕСТАНОВКА ВЕЛИЧИН
:
- ПРЕДИСЛОВИЕ