§ 10. Общие законы умножения  

(а + Ь)с = ас + Ьсу с(а + b) = ca + cb\

тем самым мы установили понятие умножения. Повторным при&менением этих законов мы тотчас получаем более общее предло- жение, согласно которому, если оба сомножителя разделены на слагаемые, то каждое из слагаемых одного из сомножителей можно перемножить с каждым слагаемым другого и сложить по&лученные произведения.

(<а - Ь)с = ас - be.

Для того чтобы свести правую часть этого равенства к левой, мы подставим в левую часть вместо b равное ему выражение (а - Ь) + Ъу и получим

ас -be = ((<а - b) + b)c - be.

Выражение справа, в соответствии с только что установленным законом, равно

(а - b)c + be - be,

последнее, согласно § 6, равно

(а-Ь)с,

следовательно, в исходном выражении левая и правая части рав&ны между собой. Таким же путем получается соответствующий закон для случая, когда разностью является второй сомножитель. Повторным применением полученных законов мы получаем бо&лее общее предложение:

Если каждый из сомножителей произведения разделен на на- сти посредством знака сложения или вычитания, то без изме&нения общего результата каждый член одного из сомножителей можно перемножить с каждым членом другого и полученные произведения соединить знаком сложения или знаком вычита&ния, в зависимости от того, одинаковы или различны знаки, стоявшие перед соответствующими сомножителями.

§11. Законы деления

В случае деления закон разложения делимого на части спра&ведлив независимо от того, однозначен или многозначен[103] резуль&тат деления, а именно:

a^b _ a b

с с с

Здесь следует заметить еще, что в общем случае не предполага-

ется перестановочность сомножителей при умножении, поэтому в общем случае следует различать и два вида деления, в зависимо&сти от того, какой сомножитель произведения требуется найти, предшествующий или последующий. Но поскольку оба сомножи&теля в произведении равноправны относительно сложения и вы&читания, это верно и относительно обоих видов деления, и если приведенный выше закон доказан для одного вида деления, то тем самым он доказан для другого вида.

Пусть требуется найти предшествующий сомножитель.

а ю

— = х , то пусть хс = а. г

В соответствии с этим выражение а + Ь .с

означает такую форму, которая, будучи в качестве предшествую&щего члена помножена на форму с, дает а + Ь. Каждую форму я могу сначала разъединить на две части, затем взять любую из

а + Ь

них. Пусть искомая форма, равнозначная форме              » равна

а

— + х. Эту форму в качестве предшествующего члена умножим на .с

с, получим, в соответствии с предшествующим параграфом, а + хс. а + Ь

Но форма » таким же образом умноженная на форму с,

дает а + Ь, следовательно,

а + хс = а + Ьу то есть

, Ь

хс-Ь, х- — .

JC

Но искомая форма по предположению равна равна форме

а Ь —+ —.

.с .с

Закон для разности получается аналогично.