§ 12. Реальное понятие умножения  

Таким образом, общее понятие умножения мы определили формально. Если указана природа связываемых величин, то этому формальному понятию должно соответствовать реальное поня&тие, выражающее способ порождения произведения из сомножи&телей. Отношение к сложению дает нам общее определение этого способа порождения. А именно, если рассматривать один из со&множителей как сумму его частей (в соответствии с § 8), то на ос&новании общего закона, связывающего сложение и умножение, вместо того чтобы применять к сумме способ порождения произ&ведения, следует применить его к слагаемым и сложить получен&ные произведения. Иными словами, поскольку эти произведения можно представлять себе порожденными в одном и том же смыс&ле, их можно соединять как части в некоторое целое. Это значит, что способ мультипликативного порождения должен быть таким, чтобы части сомножителей входили в них одинаковым образом. А именно: если некоторая часть одного из них, будучи связана по&средством умножения с какой-нибудь частью другого, порождает некоторую величину, то при мультипликативном соединении каж&дая часть одного из сомножителей с каждой частью другого долж&на порождать ту же самую величину, при условии, что эти части совпадают с теми, которые были приняты изначально. Отсюда сразу вытекает: если способ порождения обладает указанным свойством, то соответствующий ему способ соединения находится в мультипликативном отношении к сложению однородных вели&чин, поэтому для него имеют силу все законы данного отношения.

Такой способ соединения величин мы будем называть умно&жением и тогда, когда для него доказано лишь мультипликатив&ное отношение к сложению однородных величин, или, другими словами, когда установлена одинаковость вхождения в связь всех частей подлежащих соединению членов.

Установленных нами общих законов соединения, в сущности, достаточно для изложения нашей науки, к чему мы и переходим.