§ 4. Умножение
Определение. Под выражением а. 1 (читается: а один раз, или а, умноженное на один) понимают саму величину а, то есть
а. 1 = а. (52)
Умножение на единицу ничего не меняет.
- Определение. Основной ряд, единичность которого равна единице, называется числовым рядом, его члены - числами. Чис&ло 1 + 1 обозначается через 2, число 2 + 1 - через 3, и т.д.
1 + 1=2.
2+1=3. (53)
Примечание. Поскольку числовой ряд есть основной ряд, а за&коны сложения и вычитания справедливы для [величин] любого основного ряда, то они справедливы для чисел.
- Определение. Числа числового ряда, следующие за нулем, называются положительными, а предшествующие ему - отрица&тельными числами. Если а есть положительное число, то числа а и -іа называются противоположными друг другу, а число а назы&вается положительным значением числа -а19*.
- Числовой ряд есть
... 1-31-21-II 01 1 12 13 1... ,
и каждое его отрицательное число противоположно некоторому положительному числу.
Доказательство. Пусть а - некоторое число числовой после&довательности. Тогда непосредственно следующее за ним число в этой последовательности (согласно 8) равно а + 1, так как единич&ность числового ряда равна 1; стало быть, число, следующее за 1, есть 1 + 1, то есть 2 (согласно 53), число, следующее за 2, есть 2 + 1, то есть 3 (согласно 53), и т.д. Число, непосредственно предше&ствующее 1, есть 0 (согласно 10), число, непосредственно предше&ствующее 0, есть-1 (согласно 11), следовательно, число, противо&положное числу 1. Тогда, если какое-либо отрицательное число противоположно положительному числу (я), то это же справедли&во и для непосредственно предшествующего отрицательного чис&ла.
Ибо число, предшествующее числу а, есть (согласно 9) -а + -1 = -(а + 1) (согласно 41), то есть как раз число, противопо&ложное некоторому положительному числу.
Итак, если некоторое отрицательное число противоположно какому-либо положительному, то и непосредственно предшеству&ющее ему число - тоже. Следовательно, каждое предшествую&щее число противоположно некоторому положительному числу. Поскольку [число] -1 противоположно положительному числу, то это же верно и для всех предшествующих ему чисел, то есть для всех отрицательных чисел. Поскольку же, далее, число, пред&шествующее числу -я, = -(<а + 1), как было доказано выше, полу&чается, что число, предшествующее числу -1, = -(1 + 1) = -2 (сог&ласно 53), число, предшествующее числу -2, = -(2 + 1) = -3 (сог&ласно 53), и т.д.
56-58. Определение. Умножение чисел, отличных от единицы, определяется следующими формулами:
где Р есть некоторое положительное число; [выражение] а. Р (чи&тается а, взятое Р раз, или: а, умноженное на р) называется произ&ведением [das Produkt], а - его множимым [der Multiplikand], Р - его множителем [der Multiplikator], а оба они - сомножителями [Faktoren] произведения. Вместо а. Р можно писать также ар; од&нако этого не разрешается делать, если оба сомножителя записа&ны с помощью цифр (так, нельзя вместо 2.3 писать 23).
Словесные формулировки этих формул:
- Вместо прибавления единицы к положительному мно&жителю можно прибавить множимое к произведению.
- Если любое число умножить на нуль, то получится нуль.
- Вместо умножения на отрицательное число можно ум&ножить на его положительное значение и перед произведением поставить знак минус.
- Обозначение. В случае умножения скобку можно удалить, если первая величин перемножается со следующей за ней величи&ной. Далее, если произведение есть член полинома, то скобку, ко&торая заключает в себе это произведение, опускают. Например, abc означает, что а должно быть перемножено с Ь, а их произве&дение - с с; стало быть, это равно (ab)c. Далее, ab - cd означает, что а должно быть умножено на Ъ, с умножено на d, произведение же cd надлежит вычесть из произведения ab; что, стало быть, рав&но {ab - cd).
Примечание. Таким образом, вместо [выражения] (-(яр)) можно писать -ар.
- Произведение аР есть величина, которая принадлежит тому же основному ряду, что и множимое а.
Доказательство.
1 (индуктивное относительно р). Допустим, что данное предложение справедливо для некоторого положительного числа р, то есть аР принадлежит тому же основному ряду, что и а; тогда
а.(р + 1) = а + а (согласно 56)
есть, стало быть, сумма двух величин, которые принадлежат одному и тому же основному ряду, значит, эта сумма также при&надлежит этому ряду (согласно 15). Итак, если данное предложе-
ниє справедливо для некоторого положительного числа р, то оно справедливо для непосредственно следующего числа, стало быть, и для всех последующих чисел. Но для Р = 1 это предложение справедливо, ибо
а. 1 = а (согласно 52),
следовательно, оно справедливо для 1 и всех следующих за ним чисел числового ряда, то есть для всех положительных чисел.
- Данное предложение справедливо для Р = О, так как
а.О = 0 (согласно 57).
- Данное предложение справедливо для каждого отрицатель&ного числа, так как если у есть его положительное значение, то есть Р = -у, то
а.р = а.(-у) = -Чау) (согласно 58).
Поскольку (согласно доказательству 1) ау принадлежит тому же основному ряду, которому принадлежит а, то -(ау), то есть О - ау, тоже принадлежит этому ряду (согласно 28), следователь&но, принадлежит ему и ар.
Примечание.
То же самое справедливо и для случая, когда ве&личина а последовательно умножается на несколько данных ве&личин.
- Добавление. Отсюда следует, что для умножения справед&ливы все законы сложения и вычитания.
- В общем случае, то есть когда Р отрицательно или нуль, справедливо
а(р + 1) = ар + а.
Вместо прибавления единицы к множителю можно множи&мое прибавить к произведению, или:
Вместо прибавления множимого к произведению можно к множителю прибавить единицу.
Доказательство 1. Если р есть положительное число, то дан&ное предложение справедливо (согласно 56).
2. Если р = 0, то
а.(0 + 1) = а.1 (согласно 25)
= а (согласно 52)
= 0 + а (согласно 25)
= а.О + а (согласно 57)
63.
я(р- 1) = яр-я.
Вместо вычитания единицы из множителя можно из произ&ведения вычесть множимое, или:
Вместо вычитания множимого из произведения можно вы&честь единицу из множителя.
(согласно 29) (согласно 62 Ь) (согласно 28).
я(р - 1) = я(р - 1) + я - я = я(р - 1 + 1)-я = яр + я
Доказательство
- Если а есть величина основного ряда, получающаяся из е >1 и а = еа, то а называют именованной [benannt] величиной, е - ее единичностью, а - ее числовым значением21*.
- Каждая величина а основного ряда может быть представ&лена в виде произведения единичности е этого ряда и некоторого числа а, то есть в форме еа. Число а может быть положитель&ным, отрицательным или 0, в зависимости от того, следует ли ве&личина а в основном ряду за числом 0, предшествует ему, или са&ма является нулем.
Доказательство (индуктивное). 1. Если а = 0, то
а = 0 = е.О (согласно 57),
следовательно, является произведением единичности е и числа нуль.
- Допустим, что рассматриваемое предложение верно для а - 0 или для какой-нибудь величины а, следующей за 0, так что a-еа и а есть нуль или положительное число, тогда
а + е = еа + е = е(а + 1) (согласно 62 Ь).
Значит, данное предложение справедливо также и для непосред&ственно следующего члена; но, поскольку оно верно для а - О (часть 1), оно верно для каждого члена, следующего за нулем.
- Допустим, что данное предложение верно для а = 0 или для какой-либо величины а, предшествующей нулю, так что а = еа и а есть нуль или положительное число, тогда
а-е-еа-е - е[а - 1) (согласно 63 Ь).
Таким образом, это предложение верно и для непосредствен&но предшествующего члена, но, поскольку оно верно для а = О (часть 1), оно верно и для каждого члена основного ряда, предше&ствующего нулю.
- а.ф + у) = ар + ау.
Чтобы число умножить на сумму, его можно умножить на каждое слагаемое и сложить полученные произведения, или
Чтобы сложить произведения, содержащие равные множи&мые, можно сложить множители, а множимое оставить без из&менения.
Доказательство (индуктивное относительно у).
1.
Допустим, что формула (66) справедлива для некоторого числа у.
Тогда
д[р + (у +1)] = а[р + у + 1] (согласно 22)
= д(Р + у) + д (согласно 62)
= дР + ду + а (согласно допущению)
= яр + (ау + а) (согласно 22 Ь)
= дР + д(у + 1) (согласно 62 6),
то есть, если данная формула справедлива для какого-либо число&вого значения у, то она справедлива и для непосредственно следу&ющего числа, а значит, для всех последующих чисел.
- При том же предположении,
я[Р + (Y- 1)] = ДІР + У - 1] (согласно 30)
= д(р + у) - а (согласно 63)
= дР + ду - д (согласно допущению)
= дР + (ау - а) (согласно 33 Ь)
= дР + а(у- 1) (согласно 63 Ь)
Итак, эта формула справедлива для непосредственно предше&ствующего значения, следовательно, и для всех предшествующих значений.
- Но формула (66) справедлива для у = 1, так как
а(р + 1) = дР + д (согласно 62),
поэтому она справедлива вообще. 67. д(р-у) = др-ду.
Чтобы умножить число на разность, его можно умножить на ее члены по отдельности и вычесть из первого произведения второе, или:
Чтобы из одного произведения вычесть другое с тем же множимым, можно из первого множителя вычесть второй, а множимое оставить без изменения.
Доказательство (последовательное).
аф - у) = д(Р - у) + ау - ду (согласно 29)
= д(Р-у + у)-ду (согласно 66Ь)
= др - ду (согласно 28)
68. (а + Ь)у = ау + Ъу.
Чтобы умножить сумму на число, можно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения, или:
Чтобы сложить произведения, имеющие одинаковые мно&жители, можно сложить их множимые, а множитель оставить без изменения.
Доказательство (индуктивное относительно у). Допустим, что данное предложение справедливо для какого-либо числового значения у; тогда
(<а + Ь)(у + 1) = (а + Ь)у + (а + Ь) (согласно 62)
= ay + by + (а + Ь) (согласно допущению)
= + (согласно 22)
= ау + а + ?у+? (согласно 24)
= ay + а + (by + b) (согласно 22 b)
= а(у + 1) + b(y + 1) (согласно 62 b)
Итак, данное предложение справедливо для всех значений, следующих после у.
При том же предположении,
(а + b)(y- 1) = (а + b)y- (а + Ь) (согласно 62)
= ay + by - (а + Ь) (согласно допущению)
= ay + by-a-b (согласно 31)
= cr{-a + by-b (согласно 34)
= ау - а + (by - Ъ) (согласно 30 Ь)
= а(у- 1) + b(y- 1) (согласно 63 b),
то есть данное предложение справедливо для всех значений, пред&шествующих у.
Но данное предложение справедливо для у = 1, ибо
(а + b)\ = а + b (согласно 52)
= а. 1 + b. 1 (согласно 52)
Итак, данное предложение справедливо для у = 1, следова&тельно, согласно первой части доказательства, оно справедливо для всех последующих, а согласно второй части, - для всех пред&шествующих значений, то есть справедливо вообще.
6. Грассман Г., Грассман Р.
- (а -b)y = ау- by.
Чтобы умножить разность на некоторое число, можно по&следовательно умножить на это число ее члены и вычесть из одного произведения другое, или:
Чтобы вычесть произведение из другого произведения, име&ющего тот же множитель, можно из множимого первого вы&честь множимое второго произведения, д множитель оставить без изменения.
Доказательство (последовательное):
(а -ti)y=(a-b)y+by-by (согласно 29)
= (а - b + b)y - by (согласно 68 b)
= ay -by (согласно 28).
- д( Py) = a$y.
Вместо умножения числа на произведение можно выполнить последовательное умножение на каждый из сомножителей, или:
Вместо последовательного умножения числа на два числа, его можно умножить на их произведение.
Доказательство (индуктивное относительно у).
- Допустим, что данная формула справедлива для некоторого значения у, тогда
д[Р(у + 1)] = д[Ру + Р] (согласно 62)
= д(ру) + дР (согласно 66)
= дРу + др (согласно допущению)
= дР(у + 1) (согласно 62 Ъ).
- При том же допущении,
д[Р(у - 1)] = д[ру - у] (согласно 63)
= д(Ру) - др (согласно 67)
= дРу - дР (согласно допущению)
= д(Ру- 1) (согласно 63 Ь).
- д.(рі) = др (согласно 52)
= дР 1 (согласно 52).
Итак, данная формула справедлива для у = 1, но, согласно пер&вой части, она справедлива для всех последующих, а согласно вто- рой, - для всех предшествующих значений, следовательно, она справедлива вообще.
71. Если а - некоторое число, то
1 • а = а.
Произведение, множимое которого = 1 .равно множителю. Доказательство (индуктивное). Допустим, что данная фор&мула справедлива для какого-либо числового значения а; тогда
1 • (а + 1) = 1. а + 1 (согласно 62)
- а$у=ау$.
Порядок, в котором последовательно умножают на два чис&ла, безразличен для результата. Доказательство.
а$у = а(ру) (согласно 70 ?)
= а(тР) (согласно 72)
= ауР (согласно 70).
- 0 • а = а • 0.
Произведение, в котором один из сомножителей - нуль, так&же есть «уль.
Доказател ьство.
0. а = а.О (согласно 72)
= 0 (согласно 57).
- (-а).р = а(-р) = -ар.
Вместо того чтобы знак минус помещать перед одним из сомножителей, его можно поместить перед произведением. Доказательство.
(^а). р = (0 - а)р (согласно 37)
= 0. Р - а. Р (согласно 69)
= 0 - аР (согласно 74)
= - ар (согласно 37).
Далее, а(-р) = -аР (согласно 58).
- (-а) • (-р) = ар.
Вместо того чтобы перемножать две величины со знаком минус, можно перемножить эти величины как неозначенные. Доказательство.
(-а)(-Р) = -[а(-р)] (согласно 75)
= —[аР] (согласно 75)
= ар (согласно 40).
*77. Чтобы сумму сколь угодно многих членов умножить на данное число, можно все слагаемые умножить на это число и по&лученные произведения сложить
(а{ + а2 + ... + а„)р = а,р + а2р + ... + а„р.
Доказательство (индуктивное относительно п). Допустим, что данное предложение справедливо для п членов, тогда можно доказать, что оно справедливо и для п + 1 члена. Имеет место (со&гласно 68)
(ах + а2 + ... ап + ап+х)Р = (ах + а2 + ... ап)р + an+lР
= ах Р + а2 Р + ... + ап Р + ал+ ,р (согласно
допущению),
то есть, если данное предложение справедливо для некоторого числа членов, то оно справедливо и для числа членов, на единицу большего, чем данное, но, поскольку оно справедливо для двух членов, оно справедливо для любого их количества.
*78. Чтобы величину а умножить на некоторую сумму, ее можно умножить на каждое слагаемое и полученные произведе&ния сложить.
Это значит
а(Р1 + р2 + ... + Рл) = аР1-ьар2 + ... яр„.
Доказательство такое же, как и в 77.
*79. Чтобы некоторую сумму из сколь угодно большого ко&личества членов умножить на другую такого же рода сумму, можно каждый член одной суммы перемножить с каждым чле&ном другой суммы и полученные произведения сложить.
(ах + а2 + ... + ап)фх + р2 + ... + pm) = а$х + a2pt + ... + а?х
+ а,р2 + я2р2 + ... + а„р2
+ afim + а2Іт +...+ д„рт.
Доказательство. Имеем (согласно 77)
(ах + а2 + ... + ап)фх + р2 + ... + Рт) = ахфх + р2 + ... + pj
+ а2( pt + р2 + ... + рт)
+ апфх + р2 + ... + рт)
= я1р1+а1р2 + ... + а1рт + а2$х + а2 Р2 + ... + а?т
+ а?х + ая р2 + ... + ап Рт
(согласно 78).
- Чтобы полином Р умножить на число а, или число а ум&ножить на полином, можно (в остальном оставляя полином без изменения) приписать число а каждому члену полинома в каче&стве сомножителя,
или:
Полином, все члены которого содержат одинаковый сомно&житель а, равен произведениюt одним из сомножителей которо&го является аг а другим сомножителем - полином Pt получаю&щийся из данного удалением сомножителя а из каждого члена последнего.
Доказательство. Представим полином Р в виде суммы, для этого заменим каждый минус знаком + - (иными словами, вместо члена вида -Ь напишем + -Ь). Умножим полученную таким обра&зом сумму на а, присоединив а к каждому ее слагаемому в качест&ве сомножителя (согласно 77,78). Например, вместо + -Ь получим + (-Ь)а, затем (согласно 75) получим + -Ьа, или -Ъа. Это означает, что к снабженным знаком минус членам полинома R достаточно присоединить сомножитель а.
- При перемножении двух полиномов каждый член одного из них перемножается с каждым членом другого. Каждому про&изведению двух равно означенных членов приписывается знак +, каждому произведению двух неравно означенных членов припи&сывается знак затем полученные таким образом члены соеди&няются в один полином.
Доказательство. Каждый из двух полиномов можно, как это делалось в № 80, представить в виде суммы, заменив знак - в каждом соответствующим образом означенном члене знаком + затем, в соответствии с 79, каждый член первой суммы пе&ремножить с каждым членом второй. Тогда мы получим сумму произведений, некоторые сомножители которых все еще содер&жат знак Если в таком произведении только один из сомно&жителей имеет знак значит исходные члены, из которых воз&никло это произведение, имели разные знаки, например, если (-а)Ь - рассматриваемое произведение, то знак минус можно (согласно 75) поставить перед произведением, а в конце можно заменить + - знаком -; например, +(-а)Ь заменяется на +-аЬ , т.е. на -ab. Если же знак минус имеют оба сомножителя неко&торого произведения, например, (-c)(-d)y то, (согласно 75) оба знака минус можно удалить, получив, в нашем примере, вместо (-пc)(-d), член то есть такой член, какой получился бы, если исходные члены, из которых возникло произведение, имели знаки +.
*82. Порядок сомножителей произведения, содержащего сколь угодно много сомножителей, безразличен для результата.
Доказательство такое же, как в № 47 для сложения.
*83. Скобки, заключающие в себе какой угодно ряд сомножи&телей, можно удалить.
*84. Вместо того чтобы умножить полином на -1, можно зна&ки всех членов полинома заменить противоположными,
или:
где Р' означает полином, возникающий из Р заменой знаков его членов противоположными. Доказател ьство.