Применение вычетов для вычисления несобственных интегралов.

Теорема. Пусть функция - аналитическая в верхней полуплоскости () за исключением конечного числа особых точек , лежащих в верхней полуплоскости непрерывна на действительной оси, удовлетворяет (при больших |z|) неравенству .

Доказательство. Выберем контур полуокружностью радиуса , лежащей в верхней полуплоскости, с основанием – отрезком действительной оси, - достаточно велико, чтобы все особые точки лежали внутри контура. По общей теореме Коши о вычетах =

. Оценим . Поэтому . Устремляя , имеем .

Пример. Вычислить . Подынтегральная функция, рассматриваемая как функция комплексной переменной, имеет в верхней полуплоскости имеет полюс второго порядка .

=

Лемма Жордана. Пусть функция - аналитическая в полуплоскости () за исключением конечного числа особых точек. Пусть где . Тогда выполнено

.

Замечание. Применяя лемму Жордана к функции , можно сформулировать лемму Жордана для полуплоскости .

Пусть функция - аналитическая в полуплоскости () за исключением конечного числа особых точек. Пусть где . Тогда выполнено

.

Пример (стр. 214 задачника А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича, ч.2 1986).

Вычислить интегралы , . Эти интегралы являются мнимой и действительной частями интеграла , к которому применима лемма Жордана. Подынтегральная функция, как функция комплексной переменной, имеет в в верхней полуплоскости один полюс . Вычисляя вычет и применяя общую теорему о вычетах, получим

== +i .

Поэтому =, = .