Общая теорема о вычетах.

g g2 z2 g1 z1 Пусть функция - аналитическая в области и на ее границе – кусочно-гладком контуре g за исключением конечного числа изолированных особых точек , лежащих внутри области . Тогда

Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области . Вычислим интеграл . Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки и подставим в интеграл. По равномерной сходимости степенного ряда внутри круга сходимости, проведем почленное интегрирование и используем полученный ранее результат =.

=.

Тогда =.

Теорема. Сумма вычетов функции по всей расширенной плоскости равна нулю.

Доказательство. Выберем контур так, чтобы все особые точки функции лежали внутри контура. Тогда при обходе контура в положительном направлении надо учитывать

особые точки, попавшие внутрь контура, т.е. все особые точки конечной плоскости. По общей теореме о вычетах . С другой стороны, при обходе контура в отрицательном направлении мы должны учитывать только бесконечно удаленную точку и интеграл получится тем же, но со знаком «минус» (свойство интеграла). Поэтому -. Складывая эти интегралы, получим

.

Следствие. Сумма вычетов функции по всей конечной плоскости равна вычету функции в бесконечно удаленной точке, взятому со знаком «минус».

Доказательство. По предыдущей теореме . Отсюда .

Пример. Вычислить

Подынтегральная функция имеет полюс второго порядка и существенно особую точку .

.

Разложим подынтегральную функцию в ряд Лорана в окрестности .

= =

Следовательно . .

=.