§6. Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций

Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (формулы (4) и (6)).

Пусть функции

, неотрицательные на промежутке

и интегрируемы на каждом отрезке

. Тогда, если функции

удовлетворяют на промежутке

неравенству:

, то имеем:

и из сходимости интеграла

следует сходимость интеграла

, а из расходимости интеграла

следует расходимость интеграла

. Возможные ситуации сопоставлений интегралов исследуемого и известного такие же, как это представлено в соотношениях

. Далее, если существует, отличный от нуля, конечный предел:

(12) ,

то интегралы и ведут себя одинаково: то есть сходятся или расходятся одновременно.

В частности, если функции

эквивалентны при

, то эти функции одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемы на промежутке

В качестве частного признака сравнения несобственных интегралов от разрывных функций используется интеграл с параметром :

(13) ,

который сходится при и расходится при . В самом деле, , откуда следует, что дробь, стоящая в правой части равенства терпит бесконечный разрыв при и ; если же , то дробь разрыва не имеет и интеграл (13) сходящийся. В более общей форме частный признак сравнения несобственных интегралов от разрывных функций можно представить так:

(13 а,б) или ,

где, как и раньше, интегралы сходятся при и расходятся при .

Пример 12. Исследовать несобственные интегралы от разрывных функций на сходимость:

а). ; б). ; в).

; г).

Решения. а). Так как на промежутке имеет место неравенство: , то имеем сопоставление интегралов в виде частного и общего признаков сравнения: .

Поскольку интеграл в правой части неравенства сходится (формула(13)),то исследуемый интеграл тоже сходится согласно общему признаку сравнения несобственных интегралов.

б). Пусть , а ; тогда имеем сопоставление интегралов: опорного (формула(13а)) и исследуемого в виде предельного признака сравнения (формула (12)): ; так как опорный интеграл расходится, то расходится и исследуемый интеграл.

в). Используем методику поиска опорного интеграла, описанную для несобственных интегралов первого рода:

1)., что означает, что подынтегральная функция имеет одну особенность в точке , где она терпит бесконечный разрыв (при вычислении предела использовалась эквивалентность функций при , а именно: ).

2). в качестве сопоставляемой функции используем , которая эквивалентна функции при ; то есть: , а поскольку интеграл сходящийся (формула(13)), то и исследуемый интеграл тоже сходящийся.

г). Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке , так как . Исследуя разложение функции в точке , будем иметь: ; в качестве функции возьмём ; тогда предельный признак сравнения даёт: , а поскольку расходится, то расходится и исследуемый интеграл.