Приложение 1. Главные значения расходящихся несобственных интегралов

К несобственным интегралам относятся так называемые интегралы в смысле главного значения. Если несобственный интеграл существует (сходится), то существует и интеграл в смысле главного значения и эти интегралы совпадают.

Из существования интеграла в смысле главного значения не следует существование (сходность) соответствующего несобственного интеграла. Рассмотрим подробнее главные значения расходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций.

Пусть функция f (x) определена на всей числовой оси и интегрируема на любом отрезке этой оси. Если существует предел:

1. ,

то он называется главным значением несобственного интеграла по бесконечному промежутку от функции f (x) и обозначается символом: , где V и P есть начальные буквы французских слов "Valeur Principal", обозначающих "главное значение". Итак, имеем по определению

2. .

В случае неотрицательной функции f (x) главное значение несобственного интеграла по бесконечному промежутку отождествляется с площадью неограниченной области между осью абсцисс и графиком этой функции.

Интеграл от нечетной функции fh (x) (fh (-x)= -fh (x)) по любому симметричному относительно начала координат отрезку [-R; R] равен нулю. По этой причине и главное значение несобственного интеграла по бесконечному промежутку от такой функции принимается равным нулю, то есть:

3. ,

где fh (x) есть функция нечетная.

Например, , в то время как несобственный интеграл есть расходящийся; в самом деле: , то есть оба предела бесконечны; стало быть и сам несобственный интеграл расходится.

Аналогично равны нулю главные значения следующих расходящихся несобственных интегралов от нечетных функций по бесконечному промежутку: ; ; .

Интеграл от четной функции fr (x) (fr (x)= fr (-x)) по любому симметричному относительно начала координат отрезку [-R; R] равен удвоенному значению интеграла от этой функции на отрезке [0; R]. Главное значение несобственного интеграла по бесконечному промежутку от четной функции fr (x) существует, если несобственный интеграл от этой функции по промежутку [0; +) сходится. Таким образом, имеем:

4. ,

где fr (x) есть функция четная.

Например, , в то время как несобственный интеграл расходится; в самом деле:

, где интегралы j2 и j4 есть расходящиеся, а потому и исходный интеграл расходится.

Главные значения несобственных интегралов по бесконечному промежутку от следующих четных функций: ; ; - не существуют, ибо расходятся соответствующие несобственные интегралы от этих функций; в самом деле: ; ; , ; xdx= =dv, , где безынтегральный член и предпоследний интеграл расходятся; стало быть и исходный интеграл расходится.

Упражнения: а) ; б) .

Известно, что сумма, разность и произведение четных функций есть функция тоже четная; сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а произведение четного числа нечетных функций есть функция четная, в то время как произведение нечетного числа нечетных функций есть функция нечетная. Области определений четной и нечетной функций симметричны относительно начала координат. Любую функцию общего вида (ни четную, ни нечетную), определенную на симметричном относительно начала координат интервале, можно представить в виде суммы двух функций: четной (fr (x)) и нечетной (fh (x)) c общей для всех трех функций областью определения, то есть:

5. f (x)= fr (x)+ fh (x).

Это представление единственно, что нетрудно показать: так как f (-x)= fr (-x)+ +fh (-x)= fr (x)- fh (x), то с учетом соотношения (5) имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными fr (x) и fh (x): из которой выражения для функций: четной fr (x) и нечетной fh (x),- определяется однозначно, а именно:

6а. ,

6б. .

Например, представим функцию общего вида в виде суммы функций четной fr (x) и нечетной fh (x): согласно формул (6а) и (6б) имеем: ; ; что верно, ибо: .

Понятие главного значения можно применить и к несобственным интегралам от разрывных функций, если особая точка, в которой имеет место разрыв функции, находится внутри отрезка интегрирования.

Пусть функция f (x) интегрируема на промежутках: (a; с-ε] и [с+ε; b), ε> 0,- и неограниченна в окрестности точки

; тогда интегралом в смысле главного значения несобственного интеграла от разрывной функции называется предел:

7. .

Этот предел обозначается так: . Итак, имеем по определению:

8. ,

где f (c)= . Если существует несобственный интеграл от разрывной функции , то существует и интеграл в смысле главного значения, и эти интегралы равны. Из существования интеграла в смысле главного значения не следует существование соответствующего несобственного интеграла от разрывной функции.

Например, , в то время как несобственный интеграл не существует; в самом деле: , где оба интеграла расходятся.

Упражнения: а) ; б) .

Пример: .

Решение. В исследуемом интеграле две особые точки (x1= 1, x2= 2) и бесконечный промежуток интегрирования; поэтому разбиваем исходный интеграл на пять (!) интегралов, в каждом из которых будет только по одной особенности: . Последний интеграл сходится, а потому его величина равна главному значению этого интеграла, то есть .

Далее найдем величину этого интеграла:

. Остальные интегралы расходящиеся, а потому и исходный интеграл расходится. Посчитаем теперь главное значение расходящейся части интеграла, то есть:

. Для этого разобьем интеграл на два интеграла, в каждом из которых особая точка будет находиться внутри соответствующего отрезка интегрирования:

Далее ; . Итак, имеем: .

Упражнения: а) б) .

Приложение 2 . Варианты контрольных заданий: исследовать на сходимость.

1	сх.	13	сх.	25	расх.
2	сх.усл.	14	расх.	26	сх.
3	сх.	15	расх.	27	сх
4	сх.	16	сх.	28	расх.
5	расх.	17	расх.	29	сх.
6	расх	18	сх.усл.	30	сх
7	расх.	19	сх. усл.	31	сх
8	сх. усл.	20	сх. абс.	32	сх. усл.
9	сх. абс	21	сх. абс.	33	сх.
10	сх.усл	22	сх. абс.	34	расх.
11	сх.	23	сх.аб.	35	расх.
12	расх.	24	сх. абс.	36	расх.
37	расх.	50	сх. абс.	63	сх.
38	сх.	51	расх.	64	сх.
39	расх.	52	сх.абс.	65	т сх.
40	расх.	53	сх.абс.	66	сх.
41	сх.	54	сх.	67	сх.
42	сх.	55	сх.	68	расх.
43	cх.	56	сх.	69	сх.
44	сх.	57	сх.	70	сх.
45	сх. абс.	58	сх.	71	сх. усл
46	сх. абс.	59	сх.	72	сх. абс.
47	сх. абс.	60	сх.	73	сх.
48	сх. абс.	61	сх.	74	сх.
49	расх.	62	сх.	75	сх.
76	сх. абс.	78	расх.	80	расх.
77	сх. абс.	79	сх. абс.	81	сх.