3.6 Доходность долгосрочной кредитной операции с переодической выплатой процентов

'--gaSF*^ (3'38)

где А\ — современная стоимость выплат за каждый отдельный гад в начале этого года. Формула для вычисления Л і для ренты постнумерандо получена в гт. 2.2.3:

А =Аа ( Г ) 1 Р \(l+r)1/p-lj 1+г'

Подставив выражение для Л і в формулу (3.38), найдём:

і

А в-Аа( г ^ 1 <г + гГ , л

р V(i + r)1/p-i/ иг _і (1 + гГ

1 + Г

Проведя необходимые преобразования и сократив на Л, получим:

Решить это уравнение относительно г можно, например, методом Нью- тона-Рафсона. Введём замену х — 1 -Н г и приведем последнее выра-

женив к виду:

В

1-0.

Ї-ЇУ-'Ф*1-

Умножим левую и правую части этого уравнения на — 1. Получим;

(і - ї» [х1'? - l) - ар (х- - 1) - (»Vp ^ і) = о.

В качестве функции f(x) принимается выражение:

/м = (1 - - (і - f + =) - Xі" + 1+2.

Производная от этой функции:

/'<*>=Н) (і - -«(і

р

(3.40)

Пример 3.14. Кредит на сумму 100 тыс руб. выдан па два года ло сложной процентной ставке годовых. При выдаче ссуды кредитором были удержаны комиссионные в размере 5 тыс. руб. Проценты выплачиваются раз п полгода. Определить полную доходность кредитора.

Решение. Принимаем хі = 1,1. В/А - 5/100 = 0,05.

Пер вал итерация. По формулам (3.39) и (3.40) находим:

0,08

/ (яі) - (1 - 0,05)1,І*5 - (l - 0,05 + MS) ІД2 - 1ДХ/1 + 1 +

2

= -ОДО 103;

і і^5

?(хі) = 2,5 -0t95 - 1,1^ - 2-0,99-1,1 - = 0,085 2817;

Вторая итерация; / (з:2) = 0,000 165 5; f (я2) = 0,110918;

х3 =1,1129336 - ^^ = 1,1114415.

Принимаем полную доходность кредитора равной 11,14221 % и проведём проверку. Раз в полгода должник выплачивает проценты Ad — - 100 ООО - 0,08/2 = 4000 руб.

В конце пере ого полугодия после выплаты процентов задолженность составит

(А- Я)^1* ^ 95 000 -1,1114Ї21ЦЯ -4000^95152,81 руб.

В конце второго полугодия -

90 152,81 1 ДІЇ 4221- 4000 = У7 363Д5 руб.

В козі це третьего полугодия —

97 368,15 1 ДІЇ422 1ой -4 000 = G8 649,41 руб,

1} копц-а четвёртого полугодия после выплаты процентов и основного долга задолженность составит:

УЗ649,41 ¦ 1 ДІЇ422 1°|5 - 104 ООО = 0 руб- і

При выплате процентов раз и году е конце каждого года балансовое уравнение (3,38] принимает вид:

Проведя Еіеоблодимьіс преобразования и сократив на А, найдем:

.В 1 - [1 + г)"" , 1 , п ,

А г " + ^Пуг =»ДД»іг + а+г) п.

Функцию f(x) и её производную находим из (3.39) и (3*40)» поло жив гам р ~ 1. В результате получим:

/(«)= + + I + (3.42)

/'(*) - (п + І) (і - ^ + (3.43)

Если комиссионные при выдаче кредита, предусматривающего выплату процентов раз в гаду, не вы плачи ваготся, то полная доходность кредитора равна сложной годовой процентной ставке кредита а. Этот вывод легко проверить, подставив в (3^42) В — 0 и а ^ т или х — 1 + а. Действительно Дх) = (1 + a)n+L - (1 + а)(1 + а)п - І - а Ч-1 + а = 0.

Пример 3.15. Кредит tra сумму 100 тыс. руб. выдан на два года л о сложной процентной стаэтсе 8% годовых, При выдаче ссуды креди-тором были удержиш комиссионные в размере 5 тыс. руб. Проценты выплачиваются раз в году. Определить полную доходность кредитора. Решение. Принимаем хі = 1Д1. В/А = o/ID(J = 0,05. Первая итерация. По формулам (3.42) и (3.43) находим:

/ (ц) = (1 - 0,05)1 Д13 - (1 - 0,05 +0,06) 1,11а - 1Д1 +1 + 0,00 =

= 0,000186 К

ґ = 3 - 0,95 - 1,11а - 2* 1,03 ¦ ЇДІ - 1 = 0,224885;

/fa) П 11 0,0001664 ,no i7ii

Вторая итерация:

f(xa) = 0,000 0015: f = 0,219 Й42 5; хз = 1Д09Ш1-^1| = 1>Шгб43.

Принимаем полную доходность кредитора равной 10,У1643% и проведем проверку.

±3 конце первого года после выплаты процентов задолженность составит 95 ООО ¦ 1,109184 3 - 8000 = Й7 370,61 руб.

В конце второго года после выплаты процентов ц ОСНОВЕ «ого долга задолженность составит 97 370,61 ¦ 1,109 1643 - 108000 = <3 руб. *

При отсутствии комиссионных при выплате процентов р раз в году балансовое уравнение принимает вид:

Введем, как и прежде, замену я = 1+ г н приведём последнее выражение к виду:

:cn (xi/p » l) - ~ {хп - 1) - (V/p - l) = 0. В качестве функции f(x) принимается выражение:

(3.44)

/(*) = Хп+р - + ^ X" - х1'* + 1 + Производная от этой функции:

/'(*) + ~ п (l + ^ ї"-1 - (3.45)

Пример 3.10. Кредит на сумму 100 тыс. руб. выдан на два года по сложной процентной ставке 8% годовых. Проценты выплачиваются раз в полгода. Определить полную доходность кредитора. Решение. Принимаем хх я? 1,08. Первая итерация. Но формулам (3.44) и (3.46) находим:

/ (хх) - 1,08*в - (і + 2|5) 1,08а - ltG81/2 + X + ^ = -0,000 128;

Ґ («і) = 2,5- Ш1*5 - 2 ¦ 1,04 -1,08 - = 0,078 397;

Вторая итерация: /(х2) = 0,000002 fc); f'(z2) - 0,08172953;

Третья итерация: J {х3) = -0,000 ООО 2; /' (я3) = 0,08165707;

Принимаем полную доходнос ть кредитора равней 8,15997% и проведём проверку. Раз в полгода должник выплачивает проценты Аа =

В конце перйого полугодия после выплаты процентов задолженность составит 100 000 ¦ 1,081599 70J) - 4000 = 100 ООО руб.

В конце четвертого полугодия после выплаты процентов Н ОСНОВНОГО долга задолженность составит