3.7 Доходность долгосрочной кредитной операции с переодическими равными расходами по долгу

(3.46)

где Aj — современная стоимость выплат за каждый отдельный год в начале этого года. Формула для вычисления А\ при ежегодных выплатах, равных Я, приобретает вид;

л Я ( г ^ 1

1 Р 1 Т г '

Подставив выражение для А\ в формулу (3.4G), найдём:

А-В=* 1Ч1 + Г)

[{1-У

tl^ = Ra^l VP її

С другой стороны, выплаты а конце каждого периода суммы К/р должны погасить задолженность А в конце срока га, то есть >1 является современной величиной р-срочнсй ренты с годовой выплатой Я и годовой процентной ставкой а. Таким образом, Я = A j й^ а- Подставив это значение в балансовое уравнение, получим:

(И.46п)

В _ и^г

1 А ~ ІЛД '

"и; а

Перепишем это уравнение в виде:

-ті

(1-г)

При решении этого уравнения относительно г введём, как и прежде, замену

D

х

V А) [(1 + a)1" - l]

и преобразуем его к виду:

D (г1/р-і) -1 + лГп0. В качестіїе функции f(x) принимается выражение:

(3.47)

f(x) = x"n + Vxl/p- D- 1. Производная от этой функции:

(3.48)

/'(я) = -nsT"-1 + D

Пример 3.17. Кредит на сумму 100 тыс. руб. выдан на два года но сложной процентной ставке годовых. При выдаче ссуды кредитором были удержаны комиссионные в размере 5 тыс. руб. Проценты и основной долг выплачиваются раз в полгода, причем сумма расходов постоялі га.

Решение. Принимаем її — 1Д. В/А = 5/100 = 0Р0&.

D = O^S-^-^jJ/^iL- = 3,454 (І + ОДО)1'3 - 1

Первая итерация По формулам (3.47) и (3 4S) находим; j (ц) = IД"2 + 3,454 662 6 - 1Д- 3,454 0Є2Є-Ь -0,004 935 8;

f'{x) = -2 ¦ 1Д"Э + 3,454902 6^-1. = 0Д44316 2;

21 " 1,1 ОД443162 -M^mj.

Вторая итерация: / (я2) = 0,001870 3; (ж3) = 0hS5117;

= 1,1342013 - - 1Д2В755,

Третья итерация: /= 0,000081 5; (я3) = 0,2291(І4 1;

гГг O.OOOCS15

= 1Д26755 ~ ^^=1,1263094.

Четвёртая итерация:

f(xA) — 0,000 0002; f'(хл.) = 0,2280964;

*6 = 1Д263994-»^=1Д20Ж5.

0,228096 4 '

Принимаем полную доходность кредитора рапной 12,639 S5 % и проведём проверку. Для этого рассчитаем величину разовой выплаты по формуле:

Н/р = A/paW = ^ ^ iOQO001>0-^5"4 = 27499,00.

Если это значение подставить д выражение ftat^Vi го при правильном Определении полной доходности кредитора г получим значение долга без комиссионных. Для нашего случая;

= * = 27499,ОбЬ^®^ = 95000 руб.

h Р (1 г) /F - 1 1,12639SE^ -1

Тая как зта величина совпала С получен ной должником суммой, то полная доходность кредитора определена правильно. ¦

Если проценты и основной долг выплачиваются один раз в году в конце года, то балансовое уравнение (3,46) приобретёт вид:

п

Л - В = У - , = Rairr. (3.49)

С Другой стороны, выплаты в конце каждого года суммы R должны погасить задолженность А в конце срока п} то есть А является современной величиной годовой ренты с годовой выплатой R. и годовой процентной ставкой а. Таким образом,

аП]а

Подставив это значение в балансовое уравнение, получим:

| _ Ё. — <32il Л ап.а'

Принимаем полную доходность кредитора ре&ной 11,818 01% и проведем проверку. Для этого рассчитаем неличину разовой выплаты по

Бели это значение подставить в выражение ЯаН[то при правильном определении полной доходности кредитора г получим значен и е долга без комиссионных. Дли нашего случая:

'Г^к как эта величина совпала с полученной должником суммой, то полная доходность кредитора определена правильне, ¦

При отсутствии комиссионных и выплате процентов р раз в году при постоянной сумме расходов балансовое уравнение (3.46 а) можно

Решение этого уравнения очевидно и имеет вид г =д, то есть полная доходность кредитора равна сложной годовой процентной ставке кре-