Задача 20.

Дан интеграл . Требуется: 1) построить на плоскости хОу область интегрирования ; 2) изменить порядок интегрирования; 3) вычислить площадь области при заданном и измененном порядке интегрирования.

Решение. 1. Пределами внешнего интеграла по переменной х являются числа 1 и 3, следовательно, область ограничена слева прямой и справа прямой .

Пределы внутреннего интеграла по переменной у указывают на то, что область ограничена снизу параболой и сверху прямой . Построив эти линии на отрезке , получим область (рис. 6).

2. Чтобы изменить порядок интегрирования, установим пределы интегрирования для внешнего интеграла по переменной у. Как видно из рис. 6, наименьшее значение, которое принимает у в области , равно 1 в точке , а наибольшее значение равно 5 в точке . Следовательно, внешний интеграл по переменной у имеет следующие пределы: 1 (нижний предел) и 5 (верхний предел).

Определим пределы внутреннего интеграла по переменной х. Из уравнения прямой получаем — нижний предел.

Из уравнения параболы получаем — верхний предел. Таким образом,

.

3. Вычислим площадь области D при заданном порядке интегрирования:

Вычислим площадь области при измененном порядке интегрирования: