Задача 21. Найти объем тела, ограниченного параболоидом

и конусом (рис. 7).

Решение. Искомый объем находим с помощью двойного интеграла:

(24)

Определим область .

откуда

и (25)

Как следует из уравнения (25), область представляет собой круг с центром в начале координат и радиусом, равным двум.

Чтобы вычислить интеграл (24), перейдем к полярным координатам: и . Область определяется неравенствами: . Выразим подынтегральное выражение (24) через и . Заменяя через и через , получим