Задача 9

Дана функция .

Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при значениях аргумента и ; 2) найти односторонние пределы в точках разрыва; 3) построить график данной функции на отрезке [–6; 6].

Решение.

При данная функция не существует: в этой точке функция терпит разрыв. Определим односторонние пределы функции при слева и справа. Соответственно имеем

,

так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь отрицательным;

,

так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь положительным.

Таким образом, при данная функция имеет разрыв второго рода. При функция непрерывна, поскольку выполняются все три условия непрерывности функции.

Данная функция является дробно-линейной. Известно, что графиком дробно-линейной функции является равносторонняя гипербола, асимптоты которой параллельны осям координат (прямоугольных).

Чтобы построить эту гиперболу на заданном отрезке, составим следующую таблицу:

х	–6	–5	–4	–3	–2	–1	0	1	2
у		5	6	9		–3	0	1

График функции изображен на рис. 4.

у

у = 3

–8 –6 –4 –2 0 2 4 6 х

Рис. 4