Задача 8. Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х :

Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти предел функции у при приближении аргумента х к точке разрыва слева и справа; 3) найти скачок функции в точке разрыва.

у

–2 0 1 х

Рис. 3

Решение. Данная функция определена и непрерывна в интервалах и . При х = –2 и х = 1 меняется аналитическое выражение функции, и только в этих точках функция может иметь разрыв. Определим односторонние пределы в точке :

; .

Односторонние пределы совпадают. Функция в этой точке непрерывна. Определим односторонние пределы в точке :

; .

Так как односторонние пределы функции в точке не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода.

Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельными значениями. Следовательно, в точке скачок функции . График функции показан на рис. 3.