Метод Фурье.

Суть метода – разделение переменных u(x,y) = X(x) Y(y) сводит каждое из основных уравнений матфизики к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Смешанная задача для уравнения колебания струны.

Колебания струны конечной длины l с закрепленными концами описывает волновое уравнение ( 20 ) , где а - const , 0 , t > 0 , при следующих граничных и начальных условиях

u(0,t) = 0 , u(l,t) = 0 ( 18 )

u(x,0) = f(x) , ( 19 )

Пусть амплитуда смещения точек струны u(x,t) = X(x)T(t) , тогда из ( 20 ) имеем

X(x)T``(t) = a2X``(x)T(t) или T``(t) / a2T(t) = X``(x) / X(x) ( 20 )

Из равенства разнотипных функций следует, что каждая из них равна некоторой константе ( - h ). Пусть h > 0 , тогда из ( 20 ) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

X``(x) + hX(x) = 0 ( 21 )

T``(t) + ha2T(t) = 0 ( 22 )

Их характеристические уравнения k2 + h = 0 и r2 + ha2 = 0 имеют мнимые корни

k1,2 = ± i , r1,2 = ± i a и приводят к общим решениям

X(x) = A cosx + B sinx , T(t) = C cos at + D sin at ( 23 )

Определим константы А, В из условия жесткого закрепления концов струны ( 18 ) X(0) = A cos 0 + B sin 0 = 0 ? A = 0

X(l) = A cos l + B sin l = 0 ? т.к.

Отсюда следует, что произвольный параметр h может принимать только строго определенные значения = p n / l , где n = 0, 1, 2, 3, . . . и существует бесконечная последовательность частных решений

un(x,t) = sin (p n / l) x [ Cn cos (ap n / l) t + Dn sin (ap n / l) t ] ( 25 )

которые определяют синусоидальные стоячие волны. В каждой точке х амплитуда постоянна и n точек имеют нулевую амплитуду.

Любая сумма частных решений ( 25 ) также является решением уравнения ( 17 ) в силу его линейности и однородности. Просуммируем бесконечную последовательность решений ( 25 )

u(x,t) = sin (p n / l) x [ Cn cos (ap n / l) t + Dn sin (ap n / l) t ] ( 26 )

Тригонометрический ряд ( 26 ) определяет реальную физическую величину и поэтому наложим на него условие сходимости. Тогда начальные условия ( 19 ) на u(x,t) принимают вид рядов Фурье

u(x,0) = Cn sin (p n / l) x = f(x) ;

Dn (a p n / l) sin (p n / l) x = g(x) ( 27 )

Если для функций f(x) и g(x) выполняются условия разложения в ряд Фурье, то

коэффициенты разложения определяются формулой

Cn = ; Dn = ( 28 )

Отметим, что выбор h < 0 в уравнении ( 21 ) приводит к решению X(x) = =A+B, которое не может удовлетворить условию ( 18 ).

Решение ( 29 ) , ( 31 ) представляет сумму гармонических стоячих волн, возбужденных заданными начальными условиями. Число n в решении определяет число узлов колеблющейся струны, в которых она остается неподвижной. Допустимы только такие колебания, когда на струне укладывается целое число полуволн. Это есть правило квантования из которого выросла атомная физика. Движение электрона вокруг ядра по орбите длины l есть волновой процесс и допустимы только волны с длиной l = l/n.

Пр. Струне, закрепленной на концах x = 0 , x = l , в начальный момент придали форму параболы u(x, 0) = (4h/l2) x ( l – x ), где h – смещение в центре, и отпустили. Определить закон смещения точек струны во времени, если не было начальных скоростей.

Решение. Здесь граничные условия ( 18 ) и начальные условия

u(x, 0) = (4h/l2) x ( l – x ) = f(x) ; 0 ( 19` ) Коэффициенты Dn = 0, Cn = = и решение ( 26 ) принимает вид u(x,t) = .