Вывод уравнения колебаний струны.

Пусть свободно изгибающаяся струна имеет силу натяжения на концах - T0, r - линейная плотность струны [ г/см ] , u(x,t) – амплитуда отклонения от оси Ох , F(x,t) – линейная плотность силы, действующая на струну ^ Ох [н/см ] .

Выделим малый элемент струны ММ`. На его концы действует сила натяжения T0 в направлении касательных. Составляющие этих сил, ^ оси Ох, равны T0 sina и

-T0 sina`. При их сумма есть сила, вызывающая

смещение элемента T0 sina - T0 sina` = F dx ( 14 )

Под её воздействием изменение амплитуды отклонения во времени происходит по закону Ньютона r dx = F dx (15 )

здесь r dx - масса элемента. При малых a, a`имеем sin a » tg a = . Это скорость изменения амплитуды при перемещении вдоль струны, а сила отклонения равна приращению этой скорости F dx = T0(sina - sina`) = T0[ ()M` - ()M ]

Заменим приращение скорости на дифференциал и получим F dx T0 d() = T0dx.

Кроме силы инерции F на струну может действовать внешняя сила fВ, тогда из ( 18 ) имеем

r = T0 + fВ или = a2 + f ( 16 )

где a2 = T0/ r , f = fВ/r . Это уравнение вынужденных поперечных колебаний струны.

При f = 0 получаем уравнение свободных колебаний струны

= a2 ( 17 )