Теоремы Абеля.

(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)

Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x1 , то он сходится и притом абсолютно для всех .

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при xинтегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора. )

Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.

Пример. Разложить в ряд функцию .

Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:

1 1 - x

1 – x 1 + x + x2 + x3 + …

x

x – x2

x2

x2 – x3

x3

……….

Если применить к той же функции формулу Маклорена

,

то получаем:

……………………………….

Итого, получаем:

Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

Находим дифференциал функции и интегрируем его в пределах от 0 до х.

Пример. Разложить в ряд функцию

Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.

(См. Функция y = ln(1 + x).) Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.

При получаем по приведенной выше формуле:

Разложение в ряд функции может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.

Тогда получаем:

Окончательно получим:

Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.

Подинтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:

1 1 + x2

1 + x2 1 – x2 + x4- …

- x2

- x2 – x4

x4

x4 + x6

………….

Тогда

Окончательно получаем: