4.Задача Абеля (вывод ИУ Абеля).

(задача о таутохроне – const времени)

Реш-е этой задачи сводится к ИУ Абеля

Н.найти кривую, скользя вдоль кот.без трения, мат.т-а достигает своего наименьшего положения за определённое время.

Ур-е движения мат.т-и вытекает из рав-ва кинетической и потенциальной энергий.

Рассмотрим проекцию скорости на ось h.

Предположим, что ф-ция t явл.ф-цией от x в т-е старта t=f₁(x). Домножим эту ф-цию на O(2g). f₁(x) O(2g)=f(x). Получим ур-е (1).

Реш-ем ур-я (1) явл.ф-ция j(h)=1/sinb ? h=F(b).

tg b = dh/dx ? dx = dh/tg b = F’(b)db/tg b

Мы нашли вид кривой в параметрической форме:

h=F(b), x=F₁(b)

Реш-е задачи сводятся к ур-ю:

Ур-е (1) вытекает из св-в потенциалов двойного слоя. «+» (1) применяется д/реш-я внутр.задач, «–» - д/внеш.

(1) – ИУ Ф 2го рода, из кот. м.найти вид ф-ции u(P). сos y/RPP₀ – ядро интегрального ур-я, вырожденное.