Непрерывность функции нескольких переменных.
Определение 1. Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если 
Обозначим приращения аргументов символами Δx1 = x1 − a1, Δx2 = x2 − a2, …, Δxn = xn − an.
Соответствующее приращение функции u=f(x)
называется полным приращением функции u=f(x) в точке a, соответствующим приращению Δx = {Δx1, Δx2, …, Δxn}. Условие, определяющее непрерывную функцию u = f(x) в точке a эквивалентно условию
Приращение 
называется частным приращением функции u в точке a, соответствующим приращению Δxk аргумента xk.
Определение 2. Функция u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) называется непрерывной в точке a = (a1, a2, … , an) по переменной xk , если 
Теорема 1. Если функция u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) непрерывна в точке a, то она непрерывна в этой точке по каждой переменной x1, x2, … , xn . Обратное утверждение неверно.
Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) , определены в области D Ì Rn и непрерывны в точке a = (a1, a2, … , an) Î D .
Тогда функции f(x) + g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) (при g(a) ≠ 0) непрерывны в точке a. Доказательство получается из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций.
Теорема 3. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна на множестве, на котором она определена.
Теоремы о свойствах функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы для функции нескольких переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве (компакте):
Теорема 4. Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, ограничена на этом множестве.
Теорема 5 (Вейерштрасс). Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений.
24.