Непрерывность функции в точке.
Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе: 
Определение.
Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Пример непрерывной функции:
y
f(x0)+e
f(x0)
f(x0)-e
0 x0-D x0 x0+D x
Пример разрывной функции:
y
f(x0)+e
f(x0)
f(x0)-e
x0 x
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию
верно неравенство 
.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.
f(x) = f(x0) + a(x)
где a(х) – бесконечно малая при х®х0.
Еще по теме Непрерывность функции в точке.:
- 7.Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.
- 8. Непрерывность функции в точке
- Свойства непрерывных функций.
- Односторонние производные функции в точке.
- 9.Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему).
- 2. Непрерывные функции
- Предел и непрерывность функции.
- Предел функции в точке.
- Непрерывность функции нескольких переменных.
- Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
- Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- Непрерывность некоторых элементарных функций.
- Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью
- Предел функции в бесконечности и в точке
- 2.4 Теоремы о непрерывных функциях
- 4.Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах (одну из них доказать).
- Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
- 8.Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.