Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью
Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке х0,, то она в этой точке непрерывна.
?Доказательство. По условия функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, т.е.
существует конечный предел
где f′(x0) – постоянная величина, не зависящая от 
.
Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать
где α(∆х) является бесконечно малой величиной при 
→0, или
.
При Δх→0 на основании свойств бесконечно малых величин устанавливаем, что Δу→0 и, следовательно, по определению непрерывности функции в точке, делаем вывод, что функция непрерывна в токе х0. ■
Обратная теорема, вообще говоря, неверна, если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.
Таким образом, непрерывность функции – необходимое, но не достаточное условие ее дифференцируемости.