2. Гиперболическая геометрия Лобачевского

Пусть – множество векторов мнимой длины векторного

пространства .

Определение 1. Множество называется 2-мерным гиперболическим

пространством Лобачевского (плоскостью Лобачевского ),

Если задано отображение ,

удовлетворяющее следующим аксиомам :

1) – сюръекция ;

2) коллинеарны.

В выберем точку . Тогда можно отождествить с ,

поставив в соответствие каждой точке ее радиус-вектор

..

Рассмотрим сферу мнимого радиуса

С точки зрения аффинного пространства , с помощью которого

определено псевдоевклидово , поверхность является

двуполостным гиперболоидом, для которого асимптотическим конусом

является изотропный конус пространства . Обозначим

через – одну из полостей гиперболоида (полусфера,).

Если – вектор мнимой длины, то прямая

Пересечет в точке . Таким образом, определено отображение

, которое удовлетворяет аксиомам .

Сферическое расстояние

между двумя точками определяется формулой

(**)

где – гиперболический косинус, – радиус-векторы

точек .