Метод простої ітерації

Систему лінійних рівнянь, що записана у формі (2), необхідно привести до вигляду

(5.37)

так, щоб виконувались умови збіжності ітераційного процесу

(5.38)

або

.

Умови закінчення ітераційного процесу

,

(5.39)

де - задана точність наближення до кореня.

Приклад 5.3. Розв’язати систему лінійних рівнянь

(5.40)

методом простої ітерації, прийнявши =0,005.

Розв'язок

Легко помітити, якщо з першого рівняння системи (5.40) виділити невідоме х3, з другого - х1, а з третього - х2, то умови збіжності (5.38) будуть виконуватись.

Дійсно,

(5.41)

Матриця С системи (5.41) та умови збіжності мають вигляд:

(5.42)

За нульове наближення коренів системи (5.40) приймаємо вектор , тобто

.

Тоді з (5.41) отримаємо:

(5.43)

Підставляючи (5.43) в (5.41) знаходять друге наближення коренів і так далі, доки не буде досягнуто задану точність наближення до кореня .

Результати розв’язання наведено у таблиці 5.1.

Таблиця 5.1

Відповідь: .