Метод Гаусса
Метод Гаусса застосовується для розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (5.32). У матричній формі ця система має вигляд (5.33).
Використаємо той факт, що розв’язок системи не змінюється при виконанні кожної з наступних операцій:
а) перестановка двох рівнянь місцями;
б) множення одного з рівнянь на число, яке не дорівнює нулю;
в) віднімання одного рівняння, помноженого на деяке число, з іншого.
Якщо a11=0, поміняємо місцями перше рівняння з таким j-м рівнянням, що аj1
0. Тепер коефіцієнт у першому рівнянні при першій невідомій, відмінний від нуля. Позначимо його через 
і будемо називати ведучим елементом першого кроку. Розділимо перше рівняння на ведучий елемент. Потім віднімемо його з k-го рівняння (k=2, 3, ..., п) отриманої системи, попередньо помноживши на а'k1. Після таких перетворень перший стовпчик коефіцієнтів рівнянь буде складатися з одиниці на першому місці і нулів на інших місцях.
Розглянемо отримані рівняння з номерами 2, ..., п. Вони утворюють систему з (
) рівняннями з () невідомими. Виконаємо з цією системою ті ж операції, що і з попередньою (другий крок методу Гаусса).
Наступний крок виконуємо для останніх (
) рівнянь і так далі.
Якщо на кожному кроці вдається вибрати ведучий елемент, то після ряду перетворень система рівнянь набуває трикутного вигляду:
…………………………
| (5.44) |
.З останнього рівняння можна отримати значення невідомого 
.
у рівняння , потім значення і 
у рівняння з номером та ін. Але краще продовжити обчислення за наступною схемою (зворотний хід методу Гаусса). Віднімемо останнє рівняння системи (5.44), помножене на 
, з k-го рівняння (
). Потім аналогічно виключимо невідоме з перших () рівнянь.
Після ряду перетворень система (5.44) буде зведена до вигляду
Розглянемо випадок, коли на черговому кроці не вдається вибрати ведучий елемент. Це відбудеться в тому випадку, коли на черговому r-му кроці всі коефіцієнти при невідомому 
у рівняннях r, r+1, ..., п виявляться рівними нулю, що є наслідком лінійної залежності рядків вихідної матриці А. У цьому випадку можна умовно вважати ведучий елемент 
нульовим і продовжити зведення рівнянь до трикутного вигляду. Отримані рівняння будуть відрізнятися від рівнянь (5.44) тим, що в деяких місцях на діагоналі будуть стояти коефіцієнти, які дорівнюють нулю, а не одиниці. Відзначимо, що в цьому випадку рівняння (5.32) або не мають розв'язків, або мають нескінченну множину розв'язків.
Метод Гаусса відносять до класу точних (прямих) методів, але не завжди цей метод дозволяє получити точне рішення. На практиці коефіцієнти при невідомих можуть бути результатом експерименту, тому являтися наближеними числами. Дії над наближеними числами виконуються з округленням. В результаті рішення системи буде також наближеним.
Еще по теме Метод Гаусса:
- Лекція № 6 Чисельне розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Крамера, метод Гаусса, матричний метод
- Лекція № 7 Чисельне розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Крамера, метод Гаусса, матричний метод
- Метод Гаусса
- Метод Гаусса.
- Метод Гаусса-Зейделя (метод поліпшеної ітерації)
- 3.2. Метод Гаусса (метод исключения)
- § 2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- Задача 37. Решить методом Гаусса следующую систему линейных уравнений:
- 12. Оценивание неизвестных коэффициентов модели регрессии методом наименьших квадратов. Теорема Гаусса – Маркова
- Формула Гаусса – Остроградского.
- 37. Методы управления: понятие , назначение, соотношение форм и методов управленческой деятельности
- 22.Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.
- 5.Методи економічних досліджень. Загальні методи наукового пізнання та їх використання.